Vegyes származékok egyenlősége

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Az azonos funkciójú vegyes parciális deriváltak , amelyek csak a differenciálás sorrendjében (sorrendjében) különböznek egymástól, egyenlők egymással, feltéve, hogy folytonosak. Az ilyen tulajdonságot a vegyes származékok egyenlőségének nevezzük .

Magát a vegyes származékok egyenlőségére vonatkozó kijelentést különböző források Schwarz tételeként , Clairaut tételeként vagy Yang tételeként említik .

Tétel

Vegyes származék definíciója

Legyen több változó kellően sima (skaláris) függvénye : $f$

(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Ennek a függvénynek a részleges deriváltját vehetjük az egyik argumentumhoz képest , miközben a többi argumentumot konstans paraméternek tekintjük. Ennek eredményeként egy új funkciót kapunk: $x_{i}$

(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1} ,x_{i+1},\dots x_{n}=const}

Ez az új függvény a többi argumentumtól, mint paramétertől is függ. Vagyis a számérték általában ugyanazoktól a változóktól függ, mint az eredeti függvény : $\phi$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n))$ $f$

(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Ha a függvény elég sima, akkor úgy is meg tudjuk különböztetni, hogy ugyanarra vagy egy másik argumentumra parciális deriváltot veszünk : $\phi$ $x_{j}$

(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

Ha , akkor a (4) egyenlőség jobb oldalán lévő kifejezést kevert deriváltnak nevezzük . $j\neq i$

A tétel alapja

Sok változó sima függvénye esetén a vegyes derivált értéke nem függ a differenciálás sorrendjétől:

(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}

A tétel számos változó függvényelméletében alapvető, és széles körben használatos a matematikai fizikában, a parciális differenciálegyenletek elméletében és a differenciálgeometriában.

Szükséges simasági fok

A szükséges simasági fokot lépésről lépésre kell meghatározni.

1. Érvényesség egy analitikus függvényre (tétel).
2. Érvényesség olyan függvények szélesebb osztályára, amelyeknek csak ilyen folytonos deriváltjai vannak egy pont közelében:

(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i)),\;{\partial f \over \partial x_{j)),\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j)),{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

3. Mivel fix indexeknél a (6) listából minden deriváltot veszünk azzal a feltétellel, hogy bármely harmadik argumentum konstans, a függvény (valamint az összes derivált (6)) nem folytonos lehet a harmadik argumentumhoz képest. Például alkossunk függvényt két kifejezésből: $i,j$ $x_k$ $f$

f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\pontok x_{i-1},x_{ i+1},\pontok x_{j-1},x_{j+1},\pontok )

ahol az első tag két argumentum sima függvénye, a második tag pedig minden ponton nem folytonos.

A függvény simaságának további finomítását a tétel bizonyítása során kell elvégezni, ez a legvégén kerül megfogalmazásra.

A tétel bizonyítása

Ahogy fentebb említettük, a tétel bizonyításához figyelmen kívül hagyhatjuk a függvény harmadik argumentumtól való függőségét. Ezért a jelölés megkönnyítése érdekében a jelölést megváltoztatjuk -ra , azaz két változó ilyen függvényét fogjuk figyelembe venni: ${\displaystyle x_{i},x_{j))$ $x,y$

(7)\qquad f=f(x,y)

A képletek egyszerűsítése érdekében a parciális deriváltokat indexekkel jelöljük a függvény alján:

(8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f (x,y) \over \partial y}

(8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\részleges x}

Legyen egy vegyes derivált egy pontban: $(x, y)$

(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x, y) \over \Delta x}

Tételezzük fel, hogy létezik egy vegyes derivált a helyen , és létezik egy első derivált is a (vízszintes) egyenes mentén $f_{xy}$ $(x, y)$ $f_{y}(x,y)$ $y=const$ .

Továbbá a deriváltak különbsége egyenlő a különbség deriváltjával, ezért a (9) képletet a következőre alakítjuk:

(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f (x+\Delta x,y)-f(x,y)\jobbra]

Ez a transzformáció nem támaszt további feltételt, mivel a differenciálható függvények különbsége mindig differenciálható függvény.

Továbbá a (10) képlet szögletes zárójelében lévő különbség felírható a derivált határozott integráljaként:

(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{ x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi

Szükséges, hogy egy egyenes mentén $f_{x}$ $y=const$ legyen parciális derivált .

Most a (11) képletbe írjuk be az y-ra vonatkozó parciális deriváltot a derivált határértékként megadott definíciója szerint:

(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \jobbra)

Amint látja, szükséges, hogy a parciális derivált ne csak az egyenesen legyen , hanem a pont valamely kétdimenziós környezetében . $f_{x}$ $y=const$ $(x, y)$

Továbbá az integrálok különbsége megegyezik a különbség integráljával, és az integrál jele alatt bevezethető egy állandó tényező : ${1 \over \Delta y}$

(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi

Ez a transzformáció sem támaszt további feltételeket, mivel az integrálható függvények különbsége integrálható függvény.

A Lagrange-tétel szerint a (13) képlet integrandusa egyenlő a felezőpontban lévő deriválttal:

(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )

A felezőpont egy függvény:

(14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)

amelynek értékei az intervallumban vannak (ha például ) $\Delta y>0$

(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]

A (14) érvényességéhez a pont valamely kétdimenziós szomszédságában vegyes derivált létezése szükséges . ${\displaystyle f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x))$ $(x, y)$

A bizonyítás befejezéséhez fel kell tételeznünk, hogy a vegyes derivált egy pontban folytonos két változó függvényében. Ennek a deriváltnak az értéke egy zárópontban egy végtelenül kicsi tagig egyenlő a derivált értékével a pontban : $(x, y)$ $(\xi ,\eta )$ $(x, y)$

(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)

A vegyes derivált egy pont kétdimenziós szomszédságában létezik, és abban a pontban két változó függvényében folytonos. ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$

A (14) és (15) helyett (13)

(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi

Megjegyzendő, hogy a (16) képlet egyenértékű a (13) formulával (bár eltérő jelöléssel), ezért az integrál és mindkét határ létezik. Mivel a (16)-beli integrandus integrálható, és az első tag konstans az integrációs változóhoz képest , a második tag is integrálhatónak bizonyul, és az integrált feloszthatjuk két integrál összegére, az első amely könnyen felvehető a konstans integráljaként: $f_{yx}(x,y)$ $\xi$

(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\ int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y) d\xi =

=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi

Miután a (17)-et behelyettesítettük (16-ba), a konstans tagot először az első határon kívülre, majd a másik határon kívülre vihetjük:

(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _ {\Delta y\jobbra 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=

=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x} ^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi

Mutassuk meg, hogy a (18) képlet utolsó kifejezésének második tagja egyenlő nullával. Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot . A vegyes derivált folytonossága egy pontban azt jelenti, hogy létezik egy olyan pozitív szám , amely a négyzet minden pontjára vonatkozik a következő egyenlőtlenségre: $\epsilon$ ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$ $\delta$ $(\xi ,\eta )$ $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$

(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon

Ha pozitív számokat veszünk , akkor a (18) képlet utolsó tagjában lévő integrált felülről becsüljük: $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$

(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x }^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x

Jelöljük ezt a kifejezést $L$

(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\ Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon

Hasonlóképpen (ha vesszük ), van egy alsó korlátunk: $-\epsilon <\Delta x<0$

(22)\qquad L\geq -\epsilon

Mivel egy pozitív szám tetszőlegesen kicsi lehet, szükségszerűen következik . A tétel bizonyítást nyert. $\epsilon$ $L=0$

Egy függvény simaságának finomítása

A bizonyítás során látható, hogy a függvénynek egy vegyes deriváltnak (például ) kell lennie egy pontban, valamint egy második vegyes deriváltnak a pont és a pont kétdimenziós szomszédságában. folytonosság ezen a ponton. Ez a feltétel magában foglalja a derivált létezését egy vonalszakasz mentén, valamint egy derivált létezését egy pont kétdimenziós környezetében. $f_{xy}$ ${\displaystyle f_{yx))$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $f_{x}$

Ezenkívül a pontban való létezés két tényből következik: (a) a ponton átmenő szakasz mentén derivált van , (b) vegyes derivált létezik és folytonos ebben a pontban. $f_{xy}$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{yx))$

Példa

Vegye figyelembe a funkciót

(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)

ahol a Dirichlet-függvény a racionális pontokban nulla, az irracionális pontokban pedig egy. A funkció (23) a teljes síkon van definiálva; folytonos (két változó függvényében) az egyenes mentén, és nem folytonos a sík összes többi pontjában. ${\megjelenítési stílus \chi (y)}$ $y={m \over n}$ $y=0$

Mindenhol van egy folytonos parciális derivált:

(24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y

és a vegyes származékok egyike is:

(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1

Az y-ra vonatkozó parciális derivált csak az egyenes pontjaiban létezik : $y=0$

(26)\qquad f_{y}(x,0)=x

Szintén a vonal ugyanazon pontjain van egy második vegyes derivált:

(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x, 0) \over \Delta x}=1

Mint látható, az egyenes pontjaira teljesülnek a tétel feltételei, és mindkét vegyes derivált egyenlő. $y=0$

Ellenpélda

Tekintsünk két változó függvényét $x,y$

(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2))))

ahol a betűk néhány nem nulla paramétert jelölnek. A (28) képlet a síkon mindenhol folytonos függvényt határoz meg, kivéve az origót . Újradefiniálhatjuk a függvényt az origónál $a,b$ $x=0,\;y=0$ $f(x,y)$

(29)\qquad f(0,0)=0

Ezen definíciók szerint a függvény az origóban is folytonos lesz, amit a (28) képlet polárkoordináta-rendszerbeli bemutatásával (és irányításával ) láthatunk: $r\rightarrow 0$

(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi + \phi _{0})|^{3}

Mutassuk meg, hogy ennél a kiterjesztett függvénynél léteznek vegyes deriváltak az origóban, de nem egyenlők egymással. $f(x,y)$

Először kiszámítjuk az első deriváltokat . Köztes eredményként megjegyezzük, hogy a modulkockafüggvény kétszer differenciálható, és első és második deriváltját a következő képletekkel számítjuk ki: ${\displaystyle f_{x},\,f_{y))$

(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|

(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|

Most (28) és (31) figyelembe vételével a függvény első deriváltjait a sík origótól ( ) eltérő pontjába írjuk : $f(x,y)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}

(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}

Kiszámolhatja az első származékokat az origóban is, a derivált definíciója alapján:

(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{ x\jobbra 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0

Hasonlóképpen

(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0

Most rátérünk a kevert származékok számítására az origónál:

(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x }=\lim _{x\jobbra 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|

Egy hasonló számítás eredménye:

(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|

Könnyen belátható, hogy a (34) és (35) képlet eltérő eredményt ad, ha:

(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|

Ennek az egyenlőtlenségnek az az oka, hogy a tétel feltétele nem teljesül - mindkét vegyes derivált (bár mindenhol létezik) nem folytonos az origónál.

A funkciót is figyelembe veheti

f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2))

Egyszerűsített bizonyítás analitikai függvényekhez

Egy két változóból álló analitikus függvény (legalábbis lokálisan) egy konvergens hatványsorrá bővül:

(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_ {0})^{m}

Mint ismeretes, egy hatványsort tagonként lehet megkülönböztetni a konvergencia sugarán belül. Így megtaláljuk az első származékokat:

(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_ {0})^{m}

(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0 })^{m-1}

A (38) és (39) ismételt differenciálása mindkét vegyes származékra ugyanazt a képletet adja:

(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n- 1}(y-y_{0})^{m-1}

Lásd még

Vegyes parciális származék

Irodalom

Hazewinkel, Michiel. Matematikai Enciklopédia (határozatlan idejű) . - Springer, 2001. - ISBN 978-1556080104 .
Kleinert, H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Elektrodinamika és Gravitáció (angol) . - World Scientific , 2008. - ISBN 978-981-279-170-2 .