Vegyes parciális származék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2016. február 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Definíció

Legyen a függvény és parciális deriváltjai $z=f(x,\;y)$

{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y))

a pont valamely szomszédságában vannak meghatározva . Aztán a határ $(x_{0},\;y_{0})$

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x)) -{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x)))){\Delta y)),

ha létezik, a függvény vegyes (szomszédos) deriváltjának nevezzük a pontban , és jelöljük . $f(x,\;y)$ $(x_{0},\;y_{0})$ ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x))$

Hasonlóképpen úgy definiálható ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y ))-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y)))){\Delta x)),

ha létezik.

A kettőnél nagyobb rendű vegyes parciális deriváltokat induktív módon határozzuk meg.[ pontosítás ]

Megnevezés

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x))=f'' _{yx}=z''_{yx}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y))=f'' _{xy}=z''_{xy}$

Tulajdonságok

Ha a vegyes deriváltak egy ponton folytonosak, akkor az egyenlőség teljesül . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$

Schwartz példa

f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2} ))),\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f( 0,\;0)}{\partial x\partial y))=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x} }

Vagyis a Schwartz-példában szereplő vegyes származékok nem egyenlőek.

Van egy tétel a vegyes deriváltok egyenlőségére

Schwartz tétele

Teljesüljenek a következő feltételek:

függvények a pont valamely környezetében vannak definiálva . $z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y)),\; {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ $(x_{0},\;y_{0})$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ pontban folyamatosak . $(x_{0},\;y_{0})$

Ekkor , azaz a másodrendű vegyes deriváltok minden olyan pontban egyenlők, ahol folytonosak. ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$

A vegyes parciális deriváltok egyenlőségéről szóló Schwartz-tétel induktív módon kiterjed a magasabb rendű vegyes parciális deriváltakra is, feltéve, hogy folytonosak.

A kevert deriváltokra vonatkozó folytonossági feltétel azonban semmiképpen sem szükséges Schwarz tételében.

Példa

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, \quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow$ a kevert másodrendű deriváltok mindenhol egyenlőek (beleértve a pontot is ), de a másodrendű parciális deriváltak nem folytonosak a pontban $(0,\;0)$ $(0,\;0)$

Bizonyíték

Azóta _ $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ ${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y))(0,\;0)=0$

Más pontokon

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;y)={\frac {2xy^{4)){(x^{2}+y^{2})^ {2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2}) ^{2}}}$

Ily módon

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Következésképpen,

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0$

Nál nél $(x,\;y)\neq (0,\;0)$

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2 })^{3}}}$

Könnyen belátható, hogy a második vegyes deriváltnak van egy szakadása , mivel $(0,\;0)$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;x)=1$ és pl.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;-x)=-1$

[1] .

Jegyzetek

↑ Ter-Krikorov A. M. , Shabunin M. I. 5. fejezet. Sok változó függvényei // Matematikai elemzés menete. - 2. kiadás - M. : MIPT, 1997. - S. 283. - 716 p. — ISBN 5-89155-006-7 .