Algebrai Bianchi azonosság

Az algebrai Bianchi-azonosság a görbületi tenzor egy bizonyos szimmetriája . Más néven Bianchi-Padova identitás [1] ), vagy az első Bianchi identitás . Az identitást Gregorio Ricci-Curbastro találta meg , de az első Bianchi-identitásnak nevezik, mert hasonló a Luigi Bianchi által leírt differenciális identitáshoz .

Megfogalmazás

A Riemann tenzor megfelel a következő azonosságnak:

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

amelyet algebrai Bianchi azonosságnak neveznek

Megjegyzés

Ez az azonosság ekvivalens a görbületi tenzor összetevőinek következő összefüggésével:

R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0

Személyazonosság elírása

Mivel a Riemann-tenzornak két antiszimmetrikus indexpárja van (a tenzor megfordítja az előjelét, ha két index felcserélődik az egyes párokon belül), és a tenzor szimmetrikus, ha maguk a párok felcserélődnek, például felcserélhetjük az első kettőt. indexek. Ezt kapjuk (a jelet megváltoztatva):

(1a)\qquad R_{{isjk}}+R_{{jski}}+R_{{ksij}}=0

Ha most felcseréljük az indexpárokat, a következőket kapjuk:

(1b)\qquad R_{{jkis}}+R_{{kijs}}+R_{{ijks}}=0

Mindezek az azonosságok ekvivalensek, és szavakkal a következőképpen írhatók le: rögzítjük a Riemann-tenzor egyik indexét, a másik három indexszel pedig három ciklikus permutációt hajtunk végre. A Riemann-tenzor összetevőinek összege a kapott három indexkészlettel egyenlő nullával.

Más lehetőségek is elérhetők egy vagy több index emelésével, például:

(1c)\qquad R_{{\;ijk}}^{s}+R_{{\;jki}}^{s}+R_{{\;kij}}^{s}=0

A Riemann-tenzor antiszimmetriája

A metrikus matrjoska tenzor használatával egy tetszőleges rangú tenzorhoz a következő tenzort állíthatjuk össze, amely minden indexben antiszimmetrikus: $T_{{i_{1}\cdots i_{m}}}$ $m$

(16)\qquad A_{{i_{1}\dots i_{m}}}={1 \over m!}g_{{i_{1}\dots i_{m}}}^{{j_{1} \dots j_{m}}}T_{{j_{1}\dots j_{m}}}

Nyilvánvaló, hogy az antiszimmetrikus tenzor változatlan marad az antiszimmetrikus eljárás után.

Alkalmazzuk az antiszimmetrizációt a Riemann-tenzorra:

(17)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 4!}g_{{sijk}}^{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}R_{{s_ {1}i_{1}j_{1}k_{1}}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{{s_{1}}}\delta _{i }^{{s_{1}}}\delta _{j}^{{s_{1}}}\delta _{k}^{{s_{1}}}\\\delta _{s}^{ {i_{1}}}\delta _{i}^{{i_{1}}}\delta _{j}^{{i_{1}}}\delta _{k}^{{i_{1} }}\\\delta _{s}^{{j_{1}}}\delta _{i}^{{j_{1}}}\delta _{j}^{{j_{1}}}\ delta _{k}^{{j_{1}}}\\\delta _{s}^{{k_{1}}}\delta _{i}^{{k_{1}}}\delta _{ j}^{{k_{1}}}\delta _{k}^{{k_{1}}}\end{vmatrix}}R_{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1 }}}

A determináns kiterjesztésekor az indexek permutációjával 24 tagot kapunk , és a páros permutációk pluszjellel, a páratlan permutációk pedig mínuszjellel lesznek: $sijk$

(18)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 24}\left((R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})-(R_{{sjik} }+R_{{sikj}}+R_{{skji}})+\pontok \jobbra)

A (18) képlet összesen nyolc kifejezéscsoportot tartalmaz, egyenként három-három kifejezést. Tekintettel a Riemann-tenzor szimmetriájára, könnyen belátható, hogy ez a nyolc csoport egyforma (az előjelektől függően). Ezért kapjuk:

(19)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 3}(R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})

Most az algebrai Bianchi-azonosság a következőképpen írható le szavakkal: a Riemann-tenzor antiszimmetrizációja egyenlő nullával.

A belső görbület lineárisan független összetevőinek száma

Ha a sokaság mérete , akkor az antiszimmetrikus indexpárban lévő kombinációk száma egyenlő: $n$

(20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}

Mivel a Riemann-tenzor szimmetrikus az indexpárok permutációja tekintetében, összetevőit (egy előjelig) annyi különböző szám írja fel:

(21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\ jobb)

De ezeket a számokat lineáris függőségek kötik össze, amelyek az algebrai Bianchi azonosságból következnek. Ezen egyenletek száma, amint az a (19) képletből könnyen látható, megegyezik a negyedik rangú antiszimmetrikus tenzor lényegében különböző összetevőinek számával : $A_{{ijkl}}$

(22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \24 felett

(Megjegyezzük, hogy a (22) képlet a helyes eredményt adja, azaz nullát, amikor ) Ezért a Riemann-tenzor lineárisan független összetevőinek száma egyenlő a különbséggel: $n<4$

(23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{ 2}(n^{2}-1) \12 felett

A (23) képlet csak a Riemann-tenzor lineárisan független komponenseinek maximális számát adja meg egy adott sokaságdimenzióhoz. És bizonyos elosztóknál ez a szám kisebb is lehet. Például egy sík tér esetében ez a szám egyenlő nullával, és a fő irányok koordinátarendszerében lévő hiperfelületre az indexek képlete van: $i \ne j$

(24)\qquad R_{{ijij}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}

következésképpen a lineárisan független komponensek száma nem haladja meg a 2-es kombinációk számát, azaz: $n$

(25)\qquad N_{{hypersurface}}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}

Kapcsolat a belső görbület egyéb tulajdonságaival

Az algebrai Bianchi-azonosság miatt a sokaság belső görbületét teljes mértékben meghatározzák a következő másodfokú alakzatok bivektorokban : $\sigma ^{{ij}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}$

(26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{{ijkl}}\sigma ^{{ij}}\sigma ^{{kl}}

Szintén az algebrai Bianchi azonossághoz kapcsolódik a belső görbület egy alternatív nézetének lehetősége a szimmetrikus belső görbületi tenzoron keresztül .

Lásd még

Bianchi differenciális identitása

Jegyzetek

↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve tudósok és mérnökök számára. - M.: Nauka, 1973