Hiperfelület

A hiperfelület egy 3-dimenziós tér felülete fogalmának általánosítása n-dimenziós térre; az n dimenziós sokaság , amely egy dimenzióval nagyobb euklideszi térbe van beágyazva . $n+1$

A hiperfelület mint tárgy fontos szerepet játszik a differenciálgeometriában; a matematikai elemzés számos fontos tétele könnyen újrafogalmazható hiperfelületek segítségével (például a Stokes-formula és konkrét esetei).

A hiperfelület a térkötegek leggyakoribb tárgya.

Ilyen például a konfigurációs tér (a rendszer összes lehetséges állapotának tere) energiaérték szerinti rétegződése. Ezt a speciális esetet egydimenziós térkötegnek nevezzük (mivel minden hiperfelülethez hozzárendelhetünk valamilyen valós számot - energiát).

A differenciálművelők ( rotor , stb.) szintén hiperfelületekkel vannak megfogalmazva. Figyelembe véve például egy vektormező áramlását egy felületen (ez is egy hiperfelület) háromdimenziós térben, megkapjuk a mező néhány jellemzőjét, amely megjeleníthető.

A többdimenziós esetben a "vektormező áramlás" fogalmának láthatósága elvész; ennek ellenére a hiperfelület összes alapvető tulajdonsága megmarad ( Osztrogradszkij-Gauss tétel ).

Néhány olyan tulajdonság jelenléte miatt, amelyek minden hiperfelületben egyformán rejlenek ( Stokes-tétel ), a hiperfelületet külön objektummá különböztetjük meg.

Mértékegység normálvektor

Adjuk meg a hiperfelületet paraméteres egyenletekkel:

(1)\qquad {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\pontok u^{n})

Ebben az esetben az (1) függvényeket mindenhol kellően simanak fogjuk tekinteni (folyamatos második derivált), nem degenerált metrikus tenzorral . A sokaság egy pontjában lévő koordinátavektorok egy affin alteret határoznak meg , amely a sokaság érintője egy hipersík. A hipersík ortogonális komplementere a sokaság adott pontján átmenő és arra merőleges egyenes . Kiválasztjuk (a két lehetséges közül az egyiket) ennek az egyenesnek az irányát, és az egységvektort a vonalra helyezzük . A sokaság szomszédos pontjában (közel a ponthoz ) az ortogonális egyenes közel lesz az egyeneshez , így a vektor vetülete már egyértelműen pozitív irányt határoz meg az egyenesen . Ebben a pozitív irányba tegyük félre a közvetlen egységvektort . Így a sokaság egyik pontjából a másikba haladva a sokaság valamely régiójában egy vektorfüggvényt kapunk: $g_{{ij}}=({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$ ${\mathbf {r}}_{i}={\partial {\mathbf {r}} \over \partial u^{i}}$ $P$ $L$ $\mathbf {n}$ $P$ $P'$ $L'$ $L$ $L'$ $L'$ $L'$ ${\mathbf {n))'$

(2)\qquad {\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(P)={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\pontok u^{n })

Ez a függvény folyamatos lesz (mivel a hiperfelület (1) sima, szinguláris pontok nélkül). Próbáljuk meg kiterjeszteni a függvényt a teljes elosztóra . Ezt abban az esetben lehet megtenni, ha a hiperfelületen lévő bármely zárt kontúr mentén haladva, egy pontból kiindulva és a normálvektort folytonosság alapján számítva a normálvektorral azonos irányú pontba térünk vissza . Az ilyen hiperfelületet bilaterálisnak vagy indikatívnak nevezzük . De vannak olyan hiperfelületek is, amikor valamilyen zárt kontúrt megkerülve visszatérünk egy ponthoz az ellenkező normálvektorral. Az ilyen hiperfelületeket egyoldalúnak vagy nem tájolhatónak nevezzük . Az egyoldalas hiperfelületekre példa a Möbius szalag és a Klein palack . $P$ $P$ $P$

A normálvektor ortogonalitásából a hiperfelület koordinátavektoraira a következő egyenletet kapjuk:

(3)\qquad ({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{i})=0

és a normálvektor egységnyi hosszát a következő egyenlet írja le:

(4)\qquad {\mathbf {n}}^{2}=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}})=1

Teljes görbületi tenzor

A kifejezésből

(5)\qquad {\mathbf {r}}_{{ij}}=\Gamma _{{ij}}^{k}{\mathbf {r}}_{k}+{\mathbf {b}} _{{ij}}

és az a tény, hogy csak egy irány merőleges a vektorokra , ebből következik, hogy minden vektor kollineáris a vektorral , azaz. tudunk írni: $\mathbf {n}$ ${\mathbf {r}}_{i}$ $\mathbf {n}$

(6)\qquad {\mathbf {b}}_{{ij}}={\mathbf {n}}b_{{ij}}

A számok vektorok vetületei a normálvektorra , ezért lehetnek pozitívak és negatívak is. A (6) képlet szerint az elosztó fix pontján átmenő összes geodéziai vonal görbülete párhuzamos a vektorral (a görbületi középpontok az elosztóra merőleges egyenesen helyezkednek el): $b_{{ij}}$ ${\mathbf {b}}_{{ij}}$ $\mathbf {n}$ $P$ $\mathbf {n}$

(7)\qquad {\mathbf {k}}={\mathbf {b}}_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}b_{{ij }}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}k

(7a)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}

Származtatott normálvektorok

A (4) képlet szerinti sokaság koordinátáihoz való differenciálás eredménye:

(8)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}{\mathbf {n}}^{2}=2({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}}_{ i})=0

vagyis az egységnormálvektor deriváltjai magára a normálvektorra merőlegesek , és ezért érintik a hipersík-sokaságot. A vektort kiterjeszthetjük az érintőtér bázisvektoraival: ${\mathbf {n}}_{i}={\partial {\mathbf {n}} \over \partial u^{i}}$ $\mathbf {n}$ ${\mathbf {n}}_{i}$

(9)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=\alpha _{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Keressük a tágulási együtthatókat . Ehhez a (9) képlet bal és jobb oldali részét skalárisan megszorozzuk a vektorral . A bal oldalon van: $\alpha _{i}^{j}$ ${\mathbf {r}}_{k}$

(10)\qquad ({\mathbf {n}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\partial _{i}({\mathbf {n}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k})-({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{{ik}})=-b_{{ik}}

És a megfelelőnek:

(11)\qquad \alpha _{i}^{j}({\mathbf {r}}_{j}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\alpha _{i}^{ j}g_{{jk}}=\alpha _{{ik}}

A (9-11) képletekből a következő képletet kapjuk az egységnyi normálvektor deriváltjainak kiszámításához a teljes görbületi tenzorban:

(12)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=-b_{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Vegye figyelembe, hogy a vektor merőleges a sokaság koordinátáira, ezért a kovariáns deriváltja megegyezik a parciális deriváltjával (hasonlóan a skalár gradienséhez ): $\mathbf {n}$

(13)\qquad \nabla _{i}{\mathbf {n}}=\partial _{i}{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}

Egy geodéziai egyenes esetében, amelyet egy befoglaló (n + 1) dimenziós euklideszi térben görbe vonalnak tekintünk, a hiperfelületi normálvektor egybeesik a görbe fő normálvektorával, ha a (7a) képletben szereplő szám pozitív. , vagy az ellenkező vektor lesz (ha <0). Keressük meg a geodéziai torziót : $\mathbf {n}$ $k$ $k$ ${\boldsymbol {\varkappa }}$

(14)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}=-k{\boldsymbol {\tau }}+{\boldsymbol {\varkappa }}

(15)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}={\mathbf {n}}_{i}{du^{i} \over ds}={\mathbf {n}}_{ i}\tau ^{i}=-b_{j}^{i}\tau ^{j}{\mathbf {r}}_{i}

(16)\qquad {\boldsymbol {\varkappa }}={d{\mathbf {n}} \over ds}+k{\boldsymbol {\tau }}=(-b_{j}^{i}\tau ^{j}+k\tau ^{i}){\mathbf {r}}_{i}

A (16) képletből láthatjuk, hogy a geodéziai egyenes torziója nulla lesz, ha az érintő és a mátrix sajátvektora : $\tau ^{i}$ $b_{j}^{i}$

(17)\qquad b_{j}^{i}\tau ^{j}=k\tau ^{i}

A hiperfelület fő görbületei és irányai

A szimmetrikus tenzor a vektortér hiperfelületének egy pontjában lévő érintőjénél lineáris transzformációt határoz meg: $b_{{ij}}$ $P$

(18)\qquad y_{i}=b_{i}^{j}x_{j}

és feltehetjük a problémát ennek a transzformációnak a sajátértékeire és vektoraira. Először térjünk át egy koordinátarendszerre, amely a pontban derékszögű derékszögű lesz . Mivel a metrikus tenzor egység ebben a pontban ( ), akkor a tenzor kovariáns és kontravariáns koordinátái azonosak lesznek, ezért a (18) transzformációt szimmetrikus mátrix hajtja végre . A mátrixelméletből ismeretes, hogy a szimmetrikus mátrixnak kölcsönösen ortogonális sajátvektorai vannak (egységnek is tekinthetjük), és a hozzájuk tartozó összes sajátérték valós szám (ami lehet pozitív és negatív is). A választott koordinátarendszerben: $P$ $g_{ij}=\delta _{ij}$ $b_{{ij}}$ $b_{i}^{j}$ $n$ ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))),\;s=1,2,\dots n$ $k^{{(s)}}$

(19)\qquad b_{i}^{j}\tau _{j}^{{(s)}}=k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)} }

(20)\qquad \sum _{i}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)))=({\boldsymbol {\tau }}^ {{(s)}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{{(p))))=\delta ^{{sp}}={\begin{cases}1,&s=p\\0 ,&s\neq p\end{cases}}

A (19) képlet tenzor jellegű, ezért bármely koordinátarendszerben érvényes, és a (20) sajátvektorok ortogonalitása is felírható bármely koordinátarendszerben a metrikus tenzoron keresztül:

(21)\qquad g^{{ij}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^{{(p)}}=g_{{ij}}\tau ^ {{(s)i}}\tau ^{{(p)j}}=\delta ^{{sp}}

A (7a) képlet segítségével megtalálhatjuk az egyik sajátvektorral párhuzamosan húzott geodéziai egyenes görbületét : ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))$

(22)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{{(s)i}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}\tau _{j }^{{(s)}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}

A sajátértékeket a hiperfelület főgörbületeinek , a hozzájuk tartozó sajátvektorokat pedig főirányoknak nevezzük. $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\pontok k^{{(n)}}$

Egy olyan koordinátarendszerben, amely egy hiperfelületi pontban a fő irányokkal egybeeső koordinátavektorokkal rendelkezik, a teljes görbületi tenzormátrix átlós lesz: $P$ $b_{{ij}}=b_{i}^{j}$

(23)\qquad B=(b_{{ij)))={\begin{bmatrix}k^{{(1)}}&0&\cdots &0\\0&k^{{(2)}}&\cdots &0 \\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &k^{{(n)}}\end{bmatrix}}

Ugyanez felírható tenzorjelöléssel is:

(24)\qquad b_{{ij}}=k^{{(i)}}\delta _{{ij}}

Ebben a képletben az index szerinti összeadás nem történik meg. $én$

Írjuk fel a tenzor spektrális kiterjedését a sajátértékek és vektorok segítségével. Egy tetszőleges koordinátarendszerben a következőkkel rendelkezünk: $b_{{ij}}$

(25)\qquad b_{{ij}}=\sum _{{s}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^ {{(s)}}

Peterson-Codazzi egyenletek

Tekintsük a kovariáns deriváltak kommutátorának hatását a koordinátavektorokra:

(26)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=-R_{{\,ijk}}^{s}{\mathbf {r} }_{s}

Ezt a kommutátort felírhatjuk a teljes görbületi tenzorra:

(27)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=\nabla _{j}(\nabla _{k}{\mathbf {r} }_{i})-\nabla _{k}(\nabla _{j}{\mathbf {r}}_{i})=\nabla _{j}{\mathbf {b}}_{{ki }}-\nabla _{k}{\mathbf {b}}_{{ji}}=

\qquad =(\nabla _{j}{\mathbf {n}})b_{{ki}}+{\mathbf {n}}\nabla _{j}b_{{ki}}-(\nabla _{ k}{\mathbf {n}})b_{{ji}}-{\mathbf {n}}\nabla _{k}b_{{ji}}=-(b_{j}^{s}b_{{ ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}}){\mathbf {r}}_{s}+{\mathbf {n}}(\nabla _{j}b_{{ki} }-\nabla _{k}b_{{ji}})

A (26) és (27) képleteket összehasonlítva azt kapjuk, hogy:

(28)\qquad R_{{\,ijk}}^{s}=b_{j}^{s}b_{{ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}},\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}

(29)\qquad \nabla _{j}b_{{ki}}=\nabla _{k}b_{{ji}}

A (29) egyenletet Peterson-Codazzi egyenletnek nevezzük . Ez az egyenlőség a következőképpen értelmezhető: a teljes görbületi tenzor kovariáns deriváltja egy hiperfelületre egy szimmetrikus tenzor három indexszel:

(30)\qquad \nabla _{i}b_{{jk}}=b_{{ijk}}

Belső görbületi tenzor

Helyettesítsük be a (25) spektrális kiterjesztést a (28) képletbe. A Riemann tenzor megkeresése:

(31)\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}=\sum _{{p,s}}\left (k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{k}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j} ^{{(s)}}\tau _{l}^{{(s)}}-k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{ l}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j}^{{(s)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)=

\qquad =\sum _{{p,s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j }^{{(s)}}\left(\tau _{k}^{{(p)}}\tau _{l}^{{(s)}}-\tau _{l}^{{ (p)}}\tau _{k}^{{(s)}}\jobbra)

Vezessük be a bivektor jelölését - egy orientált területet , amely két fő irány vektorára épül: ${\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)))$

(32)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}={\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{ {(s)}}

vagy ugyanaz a komponensekben:

(33)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}=\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j}^{{(s)}} -\tau _{j}^{{(p)}}\tau _{i}^{{(s)}}

Ezeknek a bivektoroknak egységnyi területük van, és egymásra merőlegesek:

(34)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}|=|{\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))||{\boldsymbol {\tau } }^{{(s)}}|\sin \phi =1

(35)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}\sigma ^{{(kl)\,ij}}=0,\;{\mbox{if }}(ps)\ neq(kl)

A (31) képlet jobb oldalán az azonos indexű átlós tagok nullával egyenlőek, az átlón kívüli tagok pedig két azonos számú csoportra vannak osztva: a -vel és -vel rendelkező tagokra . Ezért a (31) képlet a következőképpen írható át: $p=s$ $p<s$ $p>s$

(36)\qquad R_{{ijkl}}=\sum _{{p<s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\sigma _{{ij}}^{ {(ps)}}\sigma _{{kl}}^{{(ps)}}

Könnyen belátható a (36) képletből és a bivektor azon tulajdonságából, hogy az algebrai Bianchi azonosságnak meg kell felelnie. Végül is minden bivektorra (orientált területre) rendelkezünk a következővel: $\sigma ){ij}$

(37)\qquad \sigma _{{ij}}\sigma _{{kl}}+\sigma _{{jk}}\sigma _{{il}}+\sigma _{{ki}}\sigma _ {{jl}}=0

A hiperfelület fő irányaira épített koordinátarendszerben a sajátvektorok koordinátái vannak:

(38)\qquad \tau _{i}^{{(s)}}=\delta _{i}^{s},\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{{(s)}}= \{0,0,\pontok 1,0,\pontok 0\}

Itt a zárójelben lévő kifejezésben az egység a -edik helyen áll, a többi koordináta nullával egyenlő. $s$

A bivektorok koordinátáit is könnyű felírni a (33) képletekkel: $\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}$

(39)\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}={\begin{cases}1,&i=p,\,j=s\\-1,&i=s,\,j= p\\0,&{\mbox{minden más }}i,j\end{eset}}

A (39)-ből és (36)-ból megtaláljuk a Riemann-tenzor nullától eltérő összetevőit:

(40)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}},\qquad i\neq j

Továbbá, mivel a választott koordinátarendszerben a metrikus tenzor egyenlő az azonosságmátrixszal, megtaláljuk a Ricci-tenzort és a skaláris görbületet :

(41)\qquad R_{{ij}}=\sum _{{s}}R_{{isjs}}=0,\qquad {\mbox{if }}i\neq j

(41a)\qquad R_{{ii}}=\sum _{{j\neq i}}R_{{ijij}}=k^{{(i)}}\sum _{{j\neq i}} k^{{(j)}}

(42)\qquad R=\sum _{{i,j \over i\neq j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\sum _{{i< j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}

Reflexió egyetlen hiperszférába ${\mathbb {S}}^{n}$

A hiperfelület minden pontjához van egy egységnyi normálvektor (3. képlet), amelyet az euklideszi dimenziós térben a derékszögű koordinátarendszer origójától félreteszünk . Ennek a vektornak (pontnak) a vége egységnyi sugarú hipergömbön van. Nézzük meg, milyen lehet a teljes hiperfelület képe ezen a hiperszférán. ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\pontok u^{n})$ ${\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\pontok u^{n})$ $(n+1)$

Ha a hiperfelület lapos, akkor a hipergömbön csak egy pont lesz a képe. A henger vagy kúp képe egy hipergömbön lévő vonal lesz (a kör egy körhenger vagy kúp). Általánosabb esetben ez egy olyan terület a hiperszférán, amely különösen lefedheti az egész hiperszférát, akár többször is. Tehát egy zárt sokaságra van valamilyen egész karakterisztikánk - hogy a képe hányszor fedi le az egységhipergömböt. Nyilvánvaló, hogy ez a jellemző nem változik az elosztó kis deformációinál, és a hiperfelület topológiai invariánsa.

Ennek az invariánsnak a kiszámításához egy integrál képlet levezetéséhez egy képletre van szükség a térfogatok tükrözéskor egységnyi hipergömbbé való átalakításához . ${\mathbb {S}}^{n}$

Először vegyünk egy kis szakaszt a sokaságon, amelyet vektorként fogunk ábrázolni . A hiperszférán lévő képe egy szegmens lesz: $d{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}_{i}du^{i}$

(43)\qquad d{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}du^{i}=-(b_{i}^{j}du^{i}){\mathbf {r}}_{j}

Most tekinthetünk egy vektorokra épített dobozt: $n$

(44)\qquad (d{\mathbf {r}})^{{(1)}}={\mathbf {r}}_{1}du^{1},\;(d{\mathbf {r }})^{{(2)}}={\mathbf {r}}_{2}du^{2},\;\dots \;(d{\mathbf {r}})^{{(n) )}}={\mathbf {r}}_{n}du^{n}

Ennek a mezőnek a térfogata egy multivektor értéke lesz, amely a következő vektorokból áll:

(45)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))=({\mathbf {r}}_{1}\wedge {\mathbf {r}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {r}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}

A (44) vektorok képei a hipergömbön a következő vektorok lesznek: ${\mathbb {S}}^{n}$

(46)\qquad {\begin{mátrix}(d{\mathbf {n}})^{{(1)))={\mathbf {n}}_{1}du^{1}=(-\ összeg _{{i_{1}}}b_{1}^{{i_{1}}}{\mathbf {r}}_{{i_{1}}})du^{1}\\(d{ \mathbf {n}})^{{(2)}}={\mathbf {n}}_{2}du^{2}=(-\sum _{{i_{2}}}b_{2} ^{{i_{2))}{\mathbf {r}}_{{i_{2}}})du^{2}\\\cdots \\(d{\mathbf {n}})^{{ (n)}}={\mathbf {n}}_{n}du^{n}=(-\sum _{{i_{n}}}b_{n}^{{i_{n}}}{ \mathbf {r}}_{{i_{n}}})du^{n}\end{mátrix}}

Ezekből a képekből egy multivektort is készítünk:

(47)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {n}})))=({\mathbf {n}}_{1}\wedge {\mathbf {n}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {n}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=(-1)^{n}\det (b_{j}^{i})\,d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))}

A (47) képletből látható, hogy a multivektor képe az eredetivel arányos arányossági együtthatóval, amit a következőképpen jelölünk:

(48)\qquad K^{{[n]}}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})=(-k^{{(1)}})(- k^{{(2)}})\cdots (-k^{{(n)}})

fokú Gauss-görbületnek nevezzük . Ez az együttható egy előjelig egyenlő a hiperfelület főgörbületeinek szorzatával. $n$

A kétdimenziós hiperfelület főgörbületeinek szorzati tulajdonságait először Carl Friedrich Gauss német matematikus vizsgálta 1827 - ben .

Gauss-integrál

Tekintsünk egy zárt hiperfelületet (mint egy gömb, tórusz stb.), és integráljuk a Gauss-görbületet a teljes hiperfelületre (ez a Gauss-integrál): $M$

(49)\qquad I=\int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})))}

A (47) miatti integrandus egyenlő az egységhipergömb térfogatelemével , plusz vagy mínusz előjellel, a Gauss-görbület előjelétől függően. A hipergömbön lévő képnek lehetnek redői, ha a hipergömb ugyanazon pontja a sokaság egyik pontja esetében „plusz” jellel van borítva, míg a sokaság valamely másik pontja „mínusz” előjellel van ellátva. Ebben az esetben a (49) integrálhoz való megfelelő hozzájárulások kompenzálódnak. De mivel a képnek nincsenek törött élei (kétoldali hiperfelületeknél), ezért a teljes hipergömböt le kell fednie, esetleg többször is. Ez a tény a következő képlettel írható fel: ${\mathbb {S}}^{n}$

(50)\qquad \int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})}}=N\omega _{{n+1} }

ahol egy egész szám (kétoldali hiperfelületek esetén), amely lehet pozitív vagy negatív, és az egységnyi hipergömb térfogata: $N$ $\omega _{{n+1}}$

(51)\qquad \omega _{{n+1}}=\omega ({\mathbb {S}}^{n})={2\pi ^{{n+1 \over 2}} \over \ Gamma({n+1 \over 2})}

Egyoldali hiperfelületekre az (50) képlet is érvényes, de benne a szám egy fél egész szám (mivel a sokaság ugyanazon pontján két kép van - a hipergömbön átlósan ellentétes pontok). $N$

Megjegyezzük, hogy nem minden egész és fél egész számra létezik sima zárt hiperfelület, amelyre az (50) egyenlőség érvényes. Például, ha egy hiperfelület mérete n = 1, azaz egy görbe egy síkon, akkor a szám nem lehet fél egész szám (a csepp alakú görbének van egy farka, amelyben a normálvektorok ellentétesek, de ez a pont nem szabályos pont). Az egész számokat olyan görbék valósítják meg, amelyek (az önmetszéspontok miatt) egyszer körbevonják a sík egy fix pontját. A görbe (50) képlete a következőképpen lesz felírva: $N$ $N$ $N$ $N$ $L$

(51)\qquad -\oint _{L}kds=2\pi N

hol van a görbe görbülete, plusz vagy mínusz előjellel, attól függően, hogy a görbe az óramutató járásával megegyező vagy azzal ellentétes irányba hajlik. Az N = 0 szám egy nyolcas ábra görbére valósul meg. $k$ $N$

A háromdimenziós térben lévő kétdimenziós hiperfelület ( ) esetén a szám az Euler-karakterisztika fele: $S$ $n=2$ $N$

(52)\qquad N={1 \over 2}\chi (S)

és ezért felvehet minden egész és fél egész értéket, amely kisebb vagy egyenlő egynél: $N\leq 1$

Példák

A kétdimenziós térben (síkban) bármely zárt görbe hiperfelület