Ricci bomlás

A Ricci dekompozíció a Riemann görbületi tenzor felbontása tenzorrészekre , amelyek irreducibilisek az ortogonális csoporthoz képest. Ez a dekompozíció fontos szerepet játszik a riemann és pszeudo-riemann geometriában.

A Riemann-tenzor összetevői

A bontás így néz ki:

R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.

Elemei a következők:

skaláris rész , ${\displaystyle S_{abcd))$
félig nyomos rész , ${\displaystyle E_{abcd))$
a teljesen nyomtalan rész , amely a Weyl tenzor különleges nevét viseli . $C_{{abcd}}$

Minden elemnek ugyanaz a szimmetriája, mint a görbületi tenzornak, de vannak sajátos algebrai tulajdonságai is.

Skaláris rész

{\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)))\,H_{abcd))

csak a skaláris görbülettől függ (hol van a Ricci-tenzor ), és a metrikus tenzortól , amelyet úgy kombinálunk, hogy görbületi tenzorszimmetriájú tenzort adjon: $R={R^{m}}_{m}$ $R_{ab}={R^{c}}_{acb}$ $fecsegés}}$ ${\displaystyle H_{abcd))$

H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.

Félig nyomkövető rész

E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd }\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d ]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\jobbra)

hasonlóan nyerjük a Ricci-tenzor nyomtalan részéből

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R

és a metrikus tenzor . $fecsegés}}$

A Weil-tenzor teljesen nyomtalan abban az értelemben, hogy bármely indexpár feletti összehúzódása nullát ad. Hermann Weyl kimutatta, hogy ez a tenzor egy pszeudo-Riemann-féle sokaság eltérését méri egy konforman lapostól: a 4-es és nagyobb méretekben a nullára állítás azt jelenti, hogy a sokaság lokálisan konforman egy lapos sokaságnak felel meg .

Ez a dekompozíció tisztán algebrai, és nem tartalmaz levezetéseket.

Egy Lorentzi -féle 4-dimenziós sokaság (pl. téridő ) esetén az Einstein-tenzornak az inverz skaláris görbülettel egyenlő a nyoma, így az Einstein-tenzor és a Ricci-tenzor nyomkövető részei megegyeznek $G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R$

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\, g_{ab}\,G.

Megjegyzés a terminológiához: a jelölés szabványos, széles körben használatos, de nem általánosan elfogadott, és a tenzoroknak nincs kialakult jelölése. ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd))$ ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd))$ ${\displaystyle S_{abcd))$ ${\displaystyle H_{abcd))$

Irreducibilis ábrázolásként

A Ricci-bővítés az összes görbületi tenzorszimmetriájú tenzor terének felbontása az ortogonális csoport irreducibilis reprezentációira [1] . Legyen V egy n - dimenziós vektortér, amelyen egy metrika van bevezetve (esetleg vegyes aláírással). Ha a sokaság egy pontjában érintő térről van szó, akkor a kovariáns indexű R görbületi tenzor a V ⊗ V ⊗ V ⊗ V tenzorszorzat olyan eleme , amely az első és az utolsó elem párjában antiszimmetrikus:

R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)

és permutációjukhoz képest szimmetrikus

R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),

minden x , y , z , w ∈ V ∗ esetén . Ekkor R a másodfokú formák alterébe tartozik az V tér bivektorain . Ezen kívül a görbületi tenzornak meg kell felelnie a Bianchi azonosságnak is , ami azt jelenti, hogy az antiszimmetrikus lineáris leképezés magjához tartozik. $S^{2}\Lambda ^{2}V$ $b\colon S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V$

b\colon R(x,y,z,w)\mapsto {\tfrac {1}{3))\cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x, w)+R(z,x,y,w)].

A kernel az algebrai görbületi tenzorok tere. A Ricci-dekompozíció ennek a térnek a felbomlása irreducibilis komponensekre. Ricci konvolúciós kijelző $\mathop {\rm {Ker)) b\subset S^{2}\Lambda ^{2}V$

c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V

az egyenlőség határozza meg

c(R)(x,y)=\operátornév {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).

Ez a leképezés lehetővé teszi, hogy minden algebrai görbülettenzort egy szimmetrikus 2-formához társítsunk. Ezzel szemben bármilyen szimmetrikus 2-forma esetén a Kulkarni-Nomizu termék $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h( y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)

meghatározza az algebrai görbületi tenzort.

A esetén létezik egy (egyedi) ortogonális lebontás irreducibilis alterekre: $n\geq 4$

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V ,

ahol

\mathbf {S} V=\mathbb {R} g\circ g;

\mathbf {E} V=g\circ S_{0}^{2}V,

ahol S20_
_V a szimmetrikus 2-alakok tere nulla nyomvonallal ;

\mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.

Egy adott R Riemann tenzor Ricci dekompozíciójának S , E és C komponensei R ortogonális vetületei invariáns alterekre. Különösen,

R=S+E+C

és

|R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.

A Ricci-kiterjesztés a Riemann-tenzorszimmetriájú tenzorok terét egy skaláris részmodul, egy Ricci-almodul és egy Weil-almodul közvetlen összegeként fejezi ki. Ezen modulok mindegyike az ortogonális csoport irreducibilis reprezentációja , így ez a dekompozíció egy speciális esete egy félig egyszerű Lie csoport moduljának irreducibilis faktorokra való felbomlásának.

A 4-dimenziós esetben a Weil-modul tovább bomlik egy irreducibilis tényező párra egy speciális ortogonális csoportban : az önduális és az anti -önduális W + és W - részekre .

Fizikai értelmezés

A Ricci-tágulás fizikai jelentőséggel bír az általános relativitáselméletben és más metrikus gravitációs elméletekben, ahol néha Géhéniau-Debever kiterjesztésnek nevezik . Ebben az elméletben az Einstein-egyenletek

G^{ab}=8\pi \,T^{ab},

hol van az energia-impulzus tenzor , amely tartalmazza az összes nem gravitációs anyag energia- és impulzussűrűségét és áramlását, azt állítják, hogy a Ritchie-tenzor (vagy ennek megfelelően az Einstein-tenzor) írja le a gravitációs mezőnek azt a részét, amely közvetlenül nem gravitációs energia és lendület által generált. A Weyl-tenzor a gravitációs tér olyan része, amely a tér olyan részein is terjed, amelyek nem tartalmaznak anyagot vagy nem gravitációs jellegű mezőket - például gravitációs hullámok vagy árapály-erők formájában [2] . A téridő azon tartományai, amelyekben a Weyl-tenzor eltűnik, nem tartalmaznak gravitációs hullámokat , és konforman laposak, ami például azt vonja maga után, hogy az ilyen tartományokban hiányzik a fény gravitációs eltérítése . ${\displaystyle T^{ab))$

Jegyzetek

↑ Besse, 1987 , 1. fejezet, G §.
↑ John Baez. A Ricci és Weyl tenzorok . Általános relativitáselmélet oktatóanyaga . Hozzáférés dátuma: 2016. június 4. Az eredetiből archiválva : 2016. március 19.

Linkek

Besse, Arthur L. (1987), Einstein sokaság , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag , p. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

Hawking, SW; és Ellis, G.F.R. The Large Scale Structure of Space-Time (határozatlan) . - Cambridge: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-09906-4 . A bontást lásd a 2.6 pontban . Ez a könyv ellentétes aláírást, de ugyanazt a Landau-Lifshitz térszerű jelkonvenciót használja, mint a Wikipédiában.

Weinberg, Steven. Gravitáció és kozmológia: Az általános relativitáselmélet alapelvei és alkalmazásai (angol) . - New York: John Wiley & Sons, 1972. - ISBN 0-471-92567-5 . Lásd a 6.7 fejezetet a dekompozíció tárgyalásához (de vegye figyelembe a különböző jelkonvenciókat).

Wald, Robert M. Általános relativitáselmélet (neopr.) . - The University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-87033-2 . Lásd a 3.2 szakaszt a lebontással kapcsolatban.

Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . A 6.1. szakasz a dekompozíciót tárgyalja. A 7. és 8. fejezetben a dekompozíció változatai is bekerülnek a konformális és projektív geometriák tárgyalásába.

Singer, I. M. & Thorpe, JA (1969), A 4-dimenziós Einstein-terek görbülete, Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira) , Univ. Tokyo Press, p. 355–365 .