Szimlektikus geometria

A szimplektikus geometria a differenciálgeometria és a differenciáltopológia területe , amely szimplektikus sokaságokat vizsgál : sima sokaságokat választott zárt , nem degenerált 2-formával. Az eredeti szimplektikus geometria a klasszikus mechanika hamiltoni formalizmusából ered , amikor a klasszikus rendszer fázistere szimlektikus sokaságnak bizonyult.

A szimplektikus geometriának vannak hasonlóságai és különbségei is a Riemann-geometriával , amely a sokaságokat egy választott kvadratikus pozitív határozott formával - a metrikus tenzorral - vizsgálja, amely lehetővé teszi a távolságok meghatározását a sokaságon. A Riemann-geometriával ellentétben a szimlektikus sokaságon nincs lokális invariáns, ami a Riemann-esetben a görbület . Ez Darboux tételéből következik , amely kimondja, hogy egy 2n dimenziós szimlektikus sokaság bármely pontjának kellően kis környéke izomorf a szabványos szimplektikus alakkal rendelkező tartományhoz: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$

{\displaystyle \omega =\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j))

A másik különbség a riemanni geometriától, hogy nem minden sokaságnak adható szimlektikus szerkezet: számos topológiai megszorítás létezik. Így az elosztócsőnek egyenletes méretűnek és tájolhatónak kell lennie . Ezenkívül zárt sokaság esetén a második homológiacsoportnak nem triviálisnak kell lennie: egy szimplektikus forma egy határ nélküli kompakt sokaságon nem lehet pontos . $M$ $H^{2}(M,\mathbb {R} )$

Irodalom

Fomenko A. T. Szimlektikus geometria. Módszerek és alkalmazások. - M. : MGU, 1988. - 413 p. — ISBN 5-211-00083-8 .