Nabla operátor

A nabla operátor egy vektor - differenciál operátor, amelynek komponensei a koordinátákhoz képest parciális deriváltak . A ∇ ( nabla ) szimbólummal jelöljük.

Egy háromdimenziós euklideszi térhez egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben [1] a nabla operátort a következőképpen határozzuk meg:

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k}}

hol vannak az egységvektorok a tengelyek mentén, ill. ${\vec i}, {\vec j}, {\vec k}$ $x,y,z$

A nabla operátor komponenseken keresztüli jelölése is használatos:

\nabla =\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}

A vektoranalízis főbb műveletei a nabla operátoron keresztül fejeződnek ki természetes módon : grad ( gradiens ), div ( divergencia ), rot ( rotor ), valamint a Laplace-operátoron (lásd lent). A leírt értelemben széles körben használják a fizikában és a matematikában (bár néha a grafikus szimbólumot más, bár bizonyos tekintetben a vizsgált matematikai objektumok jelölésére is használják, például kovariáns derivált ). $\nabla$

Az n -dimenziós nabla operátor a következő formájú n - dimenziós térben [2] lévő vektort jelent:

\nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2} +...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}

hol vannak az egységvektorok a tengelyek mentén, ill. ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$

Néha, különösen kézi rajzoláskor, egy nyíl rajzolódik az operátor fölé: - az operátor vektorkarakterének hangsúlyozására. Egy ilyen felirat jelentése nem különbözik a szokásostól . ${\vec \nabla }$ $\nabla$

Néha (különösen, ha csak skaláris függvényekre alkalmazzák) a nabla operátort gradiens operátornak nevezik , és ez az, amikor skaláris függvényekre (mezőkre) alkalmazzák.

Megjegyzés: a modern fizikában igyekeznek nem a Hamilton -operátor nevét használni a nabla-operátorral kapcsolatban, különösen a kvantumfizikában, hogy elkerüljék az összetéveszthetőséget a kvantum - Hamilton -operátorral, amely a klasszikustól eltérően operátor jellegű. .

A nabla operátor tulajdonságai

Ennek az operátornak akkor van értelme, ha azzal a skalár- vagy vektorfüggvénnyel kombinálják, amelyre alkalmazták.

Ha egy vektort skalárisan megszorozunk egy függvénnyel , akkor vektort kapunk $\nabla$ $\phi$

\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}={\mathbf {\operátornév {grad}}}\,\phi

amely a függvény gradiense . $\phi$

Ha egy vektort skalárisan megszorozunk egy vektorral , az eredmény egy skalár $\nabla$ ${\vec {a}}$

\nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{ x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}={\mathbf {\operatorname {div}}}\, {\vec a}

vagyis a vektor divergenciája . ${\vec {a}}$

Ha megszorozzuk egy vektorral , akkor megkapjuk a vektor rotorját : $\nabla$ ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$

\nabla \times {\vec a}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x} &{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{ z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \ részleges x}-{\részleges {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}={\mathbf {\operátornév {rot}}}\,{\vec a}

Megjegyzés: ami a skalár- és vektorszorzat megnevezését illeti általában, a nabla operátorral való használatuk esetén a fentebb használtakkal együtt gyakran más, velük egyenértékű elnevezéseket is használnak, például gyakran írnak a helyett , és helyette írjon ; ez vonatkozik az alább megadott képletekre is. $\nabla \cdot {\vec a}$ $(\nabla ,{\vec a})$ $\nabla \times {\vec a}$ $[\nabla ,{\vec a}]$

Ennek megfelelően a skalárszorzat egy skaláris operátor, az úgynevezett Laplace-operátor . Ez utóbbit jelöljük is . Derékszögű koordinátákban a Laplace-operátor a következőképpen definiálható: $\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ $\ \ Delta$

\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Mivel a nabla operátor differenciális operátor, a kifejezések transzformálásánál figyelembe kell venni mind a vektoralgebra, mind a differenciálás szabályait. Például:

{\mathbf {\operatorname {grad}}}(\phi \psi )={\mathbf {\nabla }}(\phi \psi )=\psi {\mathbf {\nabla }}\phi +\phi {\ mathbf {\nabla }}\psi =\psi \,{\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\phi +\phi \,{\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\psi

\operatorname {div}({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2 }\phi =\Delta \phi

Vagyis egy két mezőtől függő kifejezés deriváltja azoknak a kifejezéseknek az összege, amelyek mindegyikében csak egy mező van differenciálva.

Annak megkönnyítése érdekében, hogy megmutassuk, mely mezőkre hat a nabla, azt szokás feltételezni, hogy a mezők és operátorok szorzatában minden operátor a tőle jobbra lévő kifejezésre hat, és nem mindenre a bal oldalra. Ha szükséges, hogy az operátor a bal oldali mezőben járjon el, akkor ezt a mezőt valamilyen módon meg kell jelölni, például egy nyíllal a betű fölé:

\nabla \cdot {\vec v}={\stackrel {\downarrow }({\vec v))}\cdot \nabla

Ezt a jelölést általában köztes átalakításoknál használják. Kényelmetlensége miatt igyekeznek megszabadulni a nyilaktól a végső válaszban.

Másodrendű operátorok

Mivel különböző módok léteznek a vektorok és skalárok szorzására, a nabla operátor segítségével különféle differenciálások írhatók fel. A skaláris és vektoros szorzatok kombinálása 7 különböző lehetőséget ad a másodrendű deriváltokhoz:

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)

{\mathbf {\operatorname {rot}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)

\Delta f=\nabla ^{2}f

{\mathbf {\operatorname {grad}}}\,({\mathbf {\operatorname {div}}}\,{\vec v})=\nabla (\nabla \cdot {\vec v})

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec v})

{\mathbf {\operatorname {rot}}}\,({\mathbf {\operatorname {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \times (\nabla \times {\vec v})

\Delta {\vec v}=\nabla ^{2}{\vec v}

Kellően sima mezők esetén (kétszer folyamatosan differenciálható) ezek az operátorok nem függetlenek. Közülük kettő mindig nulla:

{\mathbf {\operatorname {rot}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f= 0

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}} )=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0

A kettő mindig megegyezik:

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f= \nabla ^{2}f=\Delta f

A maradék háromhoz kapcsolódik:

\nabla \times (\nabla \times {\vec {v)))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v)))-\nabla ^{2}{\vec {v))

Egy másik a vektorok tenzorszorzatával fejezhető ki :

\nabla (\nabla \cdot {\vec {v)))=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v)))

A nabla operátor különbségei a szokásos vektortól

Bár a nabla operátor legtöbb tulajdonsága az operátorok és számok algebrai tulajdonságaiból következik, és vektorként szemlélve teljesen nyilvánvalóvá válik, vigyázni kell. A nabla operátor nem tartozik ugyanabba a térbe, mint a reguláris vektorok, pontosabban a skalár és a vektorszorzat bizonyos eltérésekkel definiálva van (főleg abból a tényből kifolyólag, hogy az operátor – ahogyan azt általában értik – azokra a mezőkre hat, amelyek tőle jobbra áll, és nem hat a tőle balra lévőkre, ezért a skalár és a vektoros szorzat a részvétellel nem kommutatív és nem antikommutatív, ahogy az a közönséges vektorok ilyen szorzataira jellemző), így a nabla operátor nem rendelkeznek a közönséges vektorok néhány tulajdonságával, ezért előfordulhat, hogy nem mindenben a közönséges vektorok geometriai tulajdonságainak megfelelően viselkednek. Különösen, $\nabla$

nem ingázik vektorokkal :

\nabla \cdot {\vec v}\neq {\vec v}\cdot \nabla

mert - ez egy divergencia, vagyis végső soron csak a koordináták skaláris függvénye, de a vektormező irányában történő differenciálás nem triviális operátora . $\nabla \cdot {\vec v}$ ${\vec v}\cdot \nabla$ ${\vec {v}}$

Ezenkívül ellenőrizheti, hogy nem egyeznek-e, ha mindkét kifejezést alkalmazza az f skalárfüggvényre :

(\nabla \cdot {\vec v})f\neq ({\vec v}\cdot \nabla )f

mert

(\nabla \cdot {\vec v})f=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y} }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{ y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f

({\vec v}\cdot \nabla )f=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x))+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y} }+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y))+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z))

Ha a nabla vektor lenne, akkor a vegyes szorzat mindig nulla lenne, de könnyen belátható, hogy ez nem igaz $({\vec v},\ \nabla ,\ {\vec v})\equiv {\vec v}\cdot (\nabla \times {\vec v})$ .

Ezenkívül emlékezni kell arra, hogy az írott képlet egyes nabla-operátorai mely vektorokra és függvényekre hatnak , például:

(\nabla x)\times (\nabla y)=\left({\vec i}\,{\frac {\partial x}{\partial x))+{\vec j}\,{\frac {\ részleges x}{\partial y))+{\vec k}\,{\frac {\partial x}{\partial z))\right)\times \left({\vec i}\,{\frac { \partial y}{\partial x))+{\vec j}\,{\frac {\partial y}{\partial y))+{\vec k}\,{\frac {\partial y}{\ részleges z}}\jobbra)=

=({\vec i}\cdot 1+{\vec j}\cdot 0+{\vec k}\cdot 0)\times ({\vec i}\cdot 0+{\vec j}\cdot 1+ {\vec k}\cdot 0)={\vec i}\times {\vec j}={\vec {k))

(itt az első nabla operátor csak a pályán működik , a második pedig csak a pályán , ami mereven rögzíti a műveletek sorrendjét). A közönséges vektoroknál viszont: $x$ $y$

({\vec u}x)\times ({\vec u}y)=xy({\vec u}\times {\vec u})=xy{\vec 0}={\vec {0))

mert itt és könnyen kivehetők. $x$ $y$

Ezért a kényelem kedvéért, amikor a nabla operátort összetett kifejezéssel szorozzuk, a differenciálható mezőt általában nyíllal jelöljük:

(\nabla ,[{\vec {u)),{\vec {v}}])=(\nabla ,[{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}},{\vec {v}}])+(\nabla ,[{\vec {u}},{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])=({\vec {v}}),[\ nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}}])-({\vec {u}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}]) = {\vec {v}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {v } }

Ha az operátor nem cselekszik valamilyen mezőre, akkor a mezővektor és az operátor ingázik (vektorszorzat esetén anti-ingázás). A példa vegyes szorzataiban lévő vektorok az operátor bal oldalára kerülnek, és a végső kifejezés nyilak nélkül kerül kiírásra.

Történelem

1853-ban W. R. Hamilton bevezette ezt az operátort, és szimbólumot alkotott neki egy fordított görög Δ (delta) betű formájában. Hamiltonnál a szimbólum hegye balra mutatott, később P. G. Tait műveiben a szimbólum modern megjelenést kapott. Hamilton ezt a szimbólumot „atled” szónak nevezte (a „delta” szó visszafelé olvasható), de később angol tudósok, köztük O. Heaviside , „nablának” kezdték nevezni ezt a szimbólumot az ősi asszír hangszer csontvázával való hasonlóság miatt. nabla , az operátort pedig Hamilton operátornak , vagy nabla operátornak [3] hívták . $\nabla$

Egyes források szerint [4] a föníciai ábécé betűje , amelynek eredetét olyan hangszerhez kötik, mint a hárfa, mivel a „ναβλα” (nabla) az ógörögben „hárfát” jelent. Nablius egyfajta hárfa [5] . $\nabla$

Példák

$z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\ vec {i}}+x{\vec {j}}$
$z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i))+{\partial z \over \partial y}{\vec {j)) =90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Más koordinátarendszerekben - lásd az alábbi linket.
↑ Ezt az n dimenziót , vagyis annak a térnek a dimenzióját, amelyben az operátor cselekszik, kifejezetten vagy a megfelelő elmélet vagy probléma megfogalmazásából következik.
↑ "Többszörös és görbe vonalú integrálok. A térelmélet elemei” , V. R. Gavril, E. E. Ivanova, V. D. Morozova. Matematika a VII. Műszaki Egyetemen, a Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem Kiadója .
↑ Manturov O. V. et al. Matematika fogalmakban, definíciókban és kifejezésekben / Szerk. L. V. Sabinina. - T. 2. - M .: Nevelés , 1982.
↑ Stolyarov A. Notes // Senkevich G. Kamo come. - L .: Lenizdat, 1990. - S. 692.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák