Hodge elmélet

A Hodge-elmélet a sima sokaságok differenciálformáinak tanulmányozásával foglalkozik . Pontosabban, ez az elmélet azt vizsgálja, hogy az M sokaságon lévő Riemann-metrikához társított általánosított laplaci hogyan hat valós együtthatókkal a kohomológiai csoportjaira .

Ezt az elméletet William Hodge dolgozta ki az 1930-as években a de Rham-kohomológia általánosításaként . A Hodge elméletnek három szinten van fő alkalmazása:

A korai papírokban az M elosztóról azt feltételezték, hogy zárt (vagyis kompakt és határtalan). Az elmélet mindhárom szinten nagy hatással volt a későbbi munkákra, Kunihiko Kodaira , majd később még sokan mások is alkalmazták.

Alkalmazások és példák

De Rham cohomology

Maga Hodge fogalmazta meg ezt az elméletet a de Rham-komplexusokra . Ha M egy kompakt orientálható sokaság sima g metrikával , és Ω k ( M ) sima k fokú differenciálformák kötege M - en , akkor a de Rham komplex differenciáloperátorok sorozata

0\rightarrow {\mathbb R}{\xrightarrow {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

ahol d k jelöli az Ω k külső deriváltját ( M ). Ekkor a de Rham-kohomológia egyszerűen a következőképpen definiált vektorterek sorozata

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

Lehetőség van a d külső deriválthoz (külső differenciálhoz) formálisan konjugált operátort definiálni , amelyet kodifferenciálisnak nevezünk, és egyszerűen úgy jelöljük , hogy minden α ∈ Ω k ( M ) és β ∈ Ω k +1 ( M ) esetén a reláció $\delta :$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

hol van az indukált metrika . Most a laplaci definiálható így . Ez lehetővé teszi, hogy meghatározzuk a harmonikus formák tereit: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega ^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Ez kimutatható , tehát létezik egy kanonikus leképezés . Hodge tételének első része kimondja, hogy ez a vektorterek izomorfizmusa. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ $\varphi$

Ennek egyik fő következménye, hogy a de Rham-kohomológia csoportok egy kompakt sokaságon véges dimenziósak. Ez abból a tényből következik, hogy az operátorok elliptikusak , és egy elliptikus operátor magja egy kompakt sokaságon mindig véges dimenziós. $\Delta$

Hodge elmélet elliptikus komplexekhez

Hodge szerkezetek

A (valós) Hodge-struktúrák absztrakt definíciója a következő: egy valós vektortér esetében az on Hodge-struktúra a komplexifikációjának egy fokozatú közvetlen összegre való felbontása. $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

{\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,kp))

ráadásul az összetett ragozás nem rendezi át a fokozatos kifejezéseket , és : $W^{\mathbb {C} }$ $W^{{p,q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

A fő állítás az, hogy a nem szinguláris komplex projektív sokaság valós együtthatóival rendelkező szinguláris kohemológiacsoportok a következő Hodge-struktúrával rendelkeznek: $H^{k}(V,\mathbb{R} )$ $V$

H^{k}=\oplus _{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

hol vannak a sokaság Dolbeault kohomológiai csoportjai . Ez azt jelenti, hogy a Betti-számok és a : $H^{{p,q}}$ $V$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\sum _{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

A Hodge-kiterjesztés eredetileg a harmonikus formák (a laplaci sajátvektorok a differenciális formák terében ) elméletéből ered, amely a lokálisan állandó harmonikus függvényeket általánosította. Bebizonyosodott, hogy a szinguláris kohemológia minden osztálya egy egyedi harmonikus formával reprezentálható, és hogy egy ilyen formának szükségszerűen van egy jól definiált bigradációja (a komplex struktúra operátor működéséhez képest). Ez magában foglalja a Hodge bővítést. Ezt követően a Hodge-felbontást tisztán algebrai úton kaptuk meg, a spektrális sorozatok elméletének és a kötegkohomológiai csoportoknak a felhasználásával Dolbeault munkáiban. $(p,q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

Nem kompakt vagy szingularitású elosztók esetén a Hodge-struktúrát vegyes Hodge-struktúrára kell cserélni , amely abban különbözik, hogy a szinguláris kohomológia direkt összegre történő felbomlását egy szűréspár helyettesíti . Ezt az esetet használják például a monodrómiaelméletben .

Irodalom

F. Griffiths, J. Harris. Az algebrai geometria alapelvei. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 p. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Hodge elmélet és összetett algebrai geometria. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 p. - 1000 példányban. - ISBN 978-5-94057-514-6 .