Hodge szerkezet

A súlyzós Hodge -struktúra vagy egy tiszta Hodge-struktúra egy olyan objektum, amely egy valós vektortérben lévő rácsból és egy komplex vektortér dekompozíciójából áll , ahol , amelyet Hodge-dekompozíciónak nevezünk . Ebben az esetben a feltételnek teljesülnie kell , ahol a komplex konjugátum van benne . $n$ $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q))$ $n=p+q$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}=H^{{q,\;p}}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

Egyébként a Hodge-felbontás a csökkenő szűrés vagy a Hodge-szűrés fogalmával írható le úgy , hogy amikor . Ezután az altereket a képlet állítja vissza . $F^{r}=\bigoplus _{{p\geqslant r}}H^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }$ ${\bar F}^{s}\cap F^{r}=0$ $r+s\neq n$ $H^{{p,\;q}}$ $H^{{p,\;q}}={\bar F}^{p}\cap F^{q}$

Ezt a szerkezetet egy kompakt Kähler-elosztó -dimenziós kohomológia terében először W. Hodge tanulmányozta [1] . $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $x$

Ebben az esetben az altereket olyan típusú harmonikus formák tereiként vagy holomorf differenciálformák kövei kohomológiáiként írják le [2] . $H^{{p,\;q}}$ $(p,\;q)$ $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ $\Omega ^{p}$

A Hodge-szűrés egy olyan köteg komplex szűréséből származik, amelynek dimenziós hiperkohomológiája izomorf a formájú szubkomplexek által . $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\Omega =\sum _{{p\geqslant 0}}\Omega ^{p}$ $n$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\sum _{{r\geqslant p}}\Omega ^{r}$

Vegyes Hodge szerkezet

Egy általánosabb fogalom a vegyes Hodge-struktúra – ez egy olyan objektum, amely egy rácsból áll , növeli a szűrést vagy a súlyok szűrését , és csökkenti a szűrést (Hodge-szűrés) oly módon , hogy a szűrőtérben meghatározza a tiszta Hodge-szerkezetet. súlyok . $H_{\mathbb{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ $W_{n}$ $H_{\mathbb{Q} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{Q}$ $F^{p}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ $(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$ $F^{p}$ ${\bar F}^{p}$ $n$

P. Deligne munkájában [ 3] a vegyes Hodge-struktúrákat egy komplex algebrai variáció (nem feltétlenül kompakt vagy sima ) kohomológiájában az étale cohomology Galois-modul szerkezetének analógjának tekintette .

A hodge-struktúráknak fontos alkalmazásai vannak az algebrai geometriában a periódusleképezések elméletében és a sima leképezések szingularitáselméletében [4] .

Jegyzetek

↑ Hodge WVD Tho elmélet és a harmonikus integrálok alkalmazásai. — 2 ed. - Cambridge, 1952.
↑ Griffiths, F., Harris, J. Az algebrai geometria alapelvei / Per. angolról. - M . : Mir, 1982. - T. 1. - 518 p.
↑ Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). - 1975. - v. 1. - p. 70-85.
↑ Varchenko A. N. A matematika modern problémái. - 22. évf. - M., 1983. - p. 66-130. - (Tudomány és technológia eredményei).