Monodrómia

A matematikában a monodrómia [1] egy olyan jelenség, amelyben egy objektum átalakul, amikor egy nem triviális zárt pályán bezárjuk.

Történelem

A monodrómia felfedezése a d'Alembert és Euler közötti vitára nyúlik vissza arról, hogy milyen értékeket vesz fel a logaritmus negatív számokra. A logaritmus nem definiálható nullán, ezért a kérdés megválaszolásához a komplex területre kell menni . A logaritmus kiterjesztése nem nulla komplex számokra analitikus folytatás segítségével történik . Euler idejében ez a technika még nem volt formalizálva, és a nevét viselő képlet vezérelte (azonban még Kotsu számára ismert ): . Ha egy valós szám fut át a től -ig terjedő szakaszon , akkor a pont az egységkör felső felén fut át az összetett síkban, és -re - esetén van . Másrészt ebben az esetben a képzeletbeli tengely szakasza -tól -ig fut , így természetes a feltételezés, hogy . $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $x$ $0$ $\pi$ $z=\cos x+i\sin x$ $x=\pi$ $z=-1$ $\log z=ix$ $0$ $i\pi$ $\log(-1)=i\pi$

Ha azonban nem korlátozzuk magunkat egy félkörre, hanem hagyjuk, hogy a pont a teljes körön átfusson, akkor a megfelelő pontnak , jól látható, tól -ig kell futnia , és így a logaritmus a szakaszon keresztül fut hogy . Ezért Euler szempontjából meg kell engedni, hogy a komplex logaritmus felvegye mind az értéket , mind az értéket - és lehetővé kell tenni, hogy tetszőlegesen annyiszor kerülje meg az egységkört tetszőleges irányban, majd az összes értéket minden lehetséges egész szám . A probléma megoldásához Eulernek el kellett ismernie, hogy a komplex logaritmus egy „ többértékű függvény ” – ezt a fogalmat Riemann sok évvel később szigorúan meghatározta . $z$ $x$ $0$ $2\pi$ $0$ $2\pi i$ $\mathrm {Log} ~1$ $0$ $2\pi i$ $2\pi in$ $n$

A "logaritmus mint többértékű függvény" demisztifikációja: a differenciálegyenletek monodrómiája

A modern matematika szempontjából ennek a problémának a megoldása a következő. A Cotes-Euler képlet alig több, mint annak kimondása, hogy a logaritmus kielégít egy differenciálegyenletet . Ha egy függvényt gráfként ábrázolunk, akkor ez geometriailag azt jelenti, hogy egy pontban a logaritmus grafikonja érinti a vektor által átívelt egyenest , ahol a koordinátatengelyek mentén irányított egységvektorok vannak. Amikor , egy ilyen vektormező integrálgörbéi minden függőleges vonalat egyszer metszenek , és így függvények grafikonjai, amelyek valójában függvényei . A kezdeti feltétel ismeretében ez lehetővé teszi a logaritmus visszaállítását. $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $y'(x)=1/x$ $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\partial _{x},~\partial _{y}$ $x,y\in \mathbb {R}$ $x>0$ $y(x)=\log x+C$ $y(1)=0$

Ugyanakkor, ha egy vektormezőt holomorf vektormezőnek tekintünk -on ( nem definiált -on ), akkor annak integrálgörbéi, bár jól definiált holomorf görbék lesznek -ben , nem lesznek semmilyen függvény grafikonjai : ez a mező az alakzat minden vonalát egy végtelen halmazpontban metszi, amelyek a vektor eltolásával különböznek egymástól . $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\mathbb {C} ^{2}$ $x=0$ $\mathbb {C} ^{2}$ $y=y(x)$ $x=C$ $(0,2\pi in)$

A differenciálegyenletek elmélete szempontjából ezt a képet célszerű nem síknak tekinteni, hanem triviális fibrációnak , amely a Riemann-gömb felett több átszúrással (jelen esetben a pontokban és a pontokban) réteggel rendelkezik . Topológiailag a két szúrással rendelkező Riemann-gömb gyűrű , ezért alapcsoportja izomorf . Ennek a csoportnak a generátora az egységkör homotópia osztálya; az egységkör köré zárva a differenciálegyenlet megoldása -kal eltolódik . Ezt formálisan a következőképpen fogalmazzák meg: a differenciálegyenlet monodrómiája egy ciklikus csoport reprezentációja, amely a generátort -val eltolásba küldi . A műveletet a következőképpen definiáljuk: a pontot a differenciálegyenlet peremfeltételeként érzékeljük a mi hurkunkra való korlátozásában, a megoldás analitikusan folytatódik a hurok mentén, és a kiindulópontra visszatérve új értéket határoz meg benne. Az olyan rétegtranszformációt, amely az eredeti peremfeltételt analitikus folytatás eredményévé alakítja, monodromia transzformációnak nevezzük . $\mathbb {C}$ $0$ $\infty$ $S^{1}\times (-1,+1)$ $\pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $y'(x)=1/x$ $\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $(x,y)$

Különösen érdekes a lineáris fukszia egyenletek monodrómiája . Ebben az esetben nem egy függvény lesz a válasz, hanem több, vagyis a köteg fóliával rendelkező szakasza nem , hanem . Ráadásul, mivel az egyenlet lineáris, a megoldás analitikus folytatása egy zárt hurok körül nem holomorf transzformációkat fog meghatározni , hanem lineárisokat. Így egy lineáris fukszia egyenlet monodrómiája egy leképezés . Mivel a többszörös átszúrású gömb alapcsoportja szabad , egy ilyen reprezentáció definiálható úgy, hogy minden punkcióhoz társítunk, de egy komplex mátrixot (akkor a fennmaradó punkció körüli monodrómia az ismert monodrómiamátrixok szorzatának inverze, felvéve a megfelelő sorrendben). A híres Riemann-Hilbert probléma azt kérdezi, hogy lehetséges-e körülöttük egy lineáris fuksziánus egyenlet rekonstruálni bármely adott szúrások és körülöttük lévő monodrómia mátrixok halmazára. Plemelj 1908 - ban pozitívan oldotta meg , amíg Iljasenko fel nem fedezte, hogy ahhoz, hogy ez a megoldás igaz legyen, legalább egy monodrómmátrixnak diagonalizálhatónak kell lennie. Ezt követően 1989-ben Bolibrukh egy ellenpéldát konstruált, és ezzel negatív megoldást adott a Riemann-Hilbert probléma klasszikus változatára. [2] $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

A burkolatok monodrómiája

A monodrómia talán legegyszerűbb fogalma a topológiában, nevezetesen a burkolatok elméletében merül fel . Legyen egy burkolat (amelynek alapja útkapcsolatos, de a teljes tér esetleg szét van kötve), és legyen két pont az alapban. Összekötve őket egy útvonallal , ezt az utat a burkolat teljes területére emeljük. Ez az emelés a pont inverz képének megválasztásától függ , de a lefedő homotópiatétel alapján semmi több. Különösen a ("peremfeltétel") megválasztása határozza meg egyértelműen . Tegyük az utakat egybe a leképezéssel , amely a pontot a megfelelő pontba viszi („Cauchy leképezés”). Ez a leképezés nem függ a szögezett görbe homotópia osztályától, különösen, ha az útvonal hurok volt, akkor csak ennek a huroknak a homotópia osztályától függően adja meg a réteg permutációját . Egy réteg permutációs hurkának homotópia osztályához társítva egy leképezést kapunk , amely, mint könnyen ellenőrizhető, csoporthomomorfizmus. Ezt a homomorfizmust monodrómia reprezentációnak , képét pedig monodrómia csoportnak nevezzük . $p\colon Y\to X$ $x,x'\in X$ $\gamma$ $y(x)\in p^{-1}(x)$ $y(x)$ $y(x')$ $\gamma$ $p^{-1}(x)\to p^{-1}(x')$ $y(x)$ $y(x')$ ${\displaystyle p^{-1}(x)=Y_{x))$ $\pi _{1}(X)\to {\mathfrak {S}}(Y_{x})$

Történelmileg a borítások elméletét pontosan Riemann a differenciálegyenletek monodrómiájával kapcsolatos munkáiban formalizálták, ahol formalizálta a többértékű függvény fogalmát. A borítói a kilyukadt Riemann-szféra borítói voltak, amelyeken a "sok értékű függvények" a jól ismert egyértékű függvényekké válnak, a többértékű függvények különböző értékei pedig egy ponton egyszerűen az értékei. a borító azon pontjának összes előképén. Például egy kétértékű függvénynél a megfelelő lefedés a pontokban áttört Riemann-gömb kétlapos borítása, összetett logaritmus esetén pedig ennek univerzális lefedése . A monodrómia csoportok ezekben az esetekben a csoportok , ill . Hasonlóképpen , egy két szúrással rendelkező gömb lapos lefedése egy -értékű függvénynek felel meg, és van egy monodrómacsoportja , ezért van értelme a logaritmusról "végtelen fok gyökéről" beszélni. ${\sqrt {z))$ $0$ $\infty$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $m$ $m$ ${\sqrt[{m}]{z))$ $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$

Tekintsünk egy feltétel által adott többértékű függvényt , ahol egy kellően általános fokszámú polinom . Annak a borításnak, amelyen a függvény egyértékűvé válik, levelei vannak, így monodrómacsoportja a szimmetrikus csoport alcsoportja , és egy kellően általános polinom esetén kimeríti a teljes szimmetrikus csoportot. Egy egyenlet gyökökben való megoldhatósága (vagyis egy függvény ábrázolhatósága aritmetikai műveletek összetételeként és gyökfokokat véve ) megfelel annak a ténynek, hogy a megfelelő lefedettséget monodrómacsoportokat tartalmazó borítások összetételeként kapjuk meg , más szóval , egy megoldható csoport . Az a tény, hogy a szimmetrikus csoportok az egyenletek gyököiben oldhatók, a negyedikig, a csoportok megoldhatatlansága pedig az Abel-Ruffini tételnek felel meg . Ez a tétel tartalmazza a monodromia topológiai természetének legkorábbi fogalmát. $y=y(x)$ $x=P(y)$ $P$ $n$ $y$ $n$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $P(t)=0$ $y(x)$ $m_i$ $\mathbb {Z} /m_{i}\mathbb {Z}$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $n<5$ ${\mathfrak {S}}_{5}$

Lapos kapcsolatok monodrómiája

A differenciálgeometriában a monodrómia fogalma a holonómia fogalmának speciális eseteként merül fel . Legyen ugyanis egy köteg, az egyszerűség kedvéért vektorköteg , és legyen benne kapcsolat . Ezután minden darabonként sima útvonalhoz egy kapcsolat segítségével párhuzamos fordítási műveletet lehet társítani . Különösen, ha a pontban origóval zárt darabonként sima hurkokat tekintünk , ez egy rétegtranszformációt ad, vagyis a csoport egy elemét . Mivel a darabonként sima hurkok osztálya összefűzéskor zárt, és a hurok áthaladásának irányának megfordítása inverz endomorfizmust ad, az összes ilyen endomorfizmus halmaza egy csoportot alkot. Ezt a csoportot holonómia csoportnak nevezik . $E\to X$ $\nabla$ $\gamma \colon [0;1]\to X$ ${\displaystyle E_{\gamma (0)}\ to E_{\gamma (1)))$ $x$ $\mathrm {GL} (E_{x})$

Ha ráadásul a kapcsolat lapos volt, akkor a vízszintes eloszlás teljes térbeli eloszlására alkalmazott Frobenius-tételből az következik, hogy a hurok menti holonómia kis alakváltozásaival nem változik, azaz attól függ. csak a homotópia osztályán. Ezért a lapos kapcsolatoknál ésszerűbb monodrómiáról beszélni, nem pedig holonómiáról. Topológiai értelemben ez a következőnek felel meg: a Frobenius-tételből az következik, hogy egy lapos kötegben bármely vektor lokálisan kiterjeszthető egy sík szakaszra (az ilyen szakaszokat vízszintesnek, párhuzamosnak vagy kovariánsan állandónak is nevezik). Ha figyelembe vesszük egy eltérő topológiájú köteg teljes terét ( ilyen topológiával fogjuk jelölni ), amelyben a nyílt halmazok alapja a lokális vízszintes szakaszok és a nyitott részhalmazok metszéspontja lesz -ben , akkor a vetítési térkép valójában egy burkolat lehet, és egy ilyen burkolat monodrómiája egyszerűen egy lapos csatlakozású köteg monodrómiája lesz. $E$ $E$ $E$ $E'$ $E$ $E'\to X$

A komplex idővel rendelkező elsőrendű lineáris differenciálegyenletek eredeti, euleri monodrómiájának koncepcióját úgy kaphatjuk meg, ha egy átlyukasztott Riemann-gömb felett egy triviális holomorf köteget tekintünk ennek a differenciálegyenletnek megfelelő kapcsolattal. Megjegyzendő azonban, hogy ha az egyenlet másodrendű vagy magasabb rendű volt, akkor annak értelmezését lehetőség szerint valamilyen geometriai jellegű lapos összefüggésben találni rendkívül nem triviális feladat: sok mű például a hipergeometriai egyenlet és a Gauss-Manin kapcsolat közötti kapcsolatnak szentelték . [3] [4]

Bogomolov és tanítványai dolgozták ki azt az ötletet, hogyan lehet a monodrómiát nem síkbeli kapcsolatokra alkalmazni . Tekintsünk az egyszerűség kedvéért egy Riemann-felületet egy megjelölt ponttal , és vegyük figyelembe az összes lehetséges véges részhalmaz kategóriáját, amely nem tartalmazza a -t, ahol a morfizmus létezik, kivéve, ha (ha az objektumot Riemann-felületnek tekinti , amelyből a részhalmaz pontjai kiszúródnak, akkor a morfizmus egyszerűen a jobban átszúrt felület azonos beágyazása egy kevésbé áttört felületbe). Most alkalmazza ebbe a kategóriába a csoportok kategóriájában található funktort . A kapott csoportdiagram határértékét jelöli . Ezt a csoportot informálisan úgy tekinthetjük, mint a felület alapvető csoportját, amely minden ponton áttört, kivéve a . A ponton alapuló, darabonként sima huroknak van egy jól meghatározott osztálya ebben a csoportban, mivel az ezen a hurkon kívül kilyukadt összes lehetséges felület alapcsoportjaiban szerepel. Ha egy köteg feletti kapcsolattal , akkor az a térkép, amely a hurkot a kapcsolat holonómiájává alakítja át , a monodrómia reprezentációhoz hasonló homomorfizmus. A csoporton bevezethető egy nem triviális topológia , nevezetesen a diszkrét topológiák határa a fent leírt diagram mentén. Ebben az esetben egy kapcsolat folytonos ábrázolásnak felel meg, ha ez a kapcsolat több ponton kívül lapos volt (például ilyen a Levi-Civita kapcsolat a poliéder felületére -ben ). A Riemann-felületek és a számmezők közti jól ismert analógia szerint egy ilyen csoport megfelel (de nem szó szerint) a Galois-csoport profinit befejezésének . $x$ $x$ $S\subset X$ $x$ $S\to S'$ $S\supset S'$ $S$ $x$ $S$ $S\mapsto \pi _{1}(X\setminus S,x)$ $\Pi _{1}(X,x)$ $x$ $x$ $x$ $(E,\nabla )$ $x$ $\Pi _{1}(X,x)\to \mathrm {GL} (E_{x})$ $\Pi _{1}(X,x)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Pi _{1}(X,x)$

Jegyzetek

↑ A negyedik szótag hangsúlyozása történelmileg jellemző a moszkvai iskolára, a harmadikra - a szentpétervári iskolára.
↑ A. A. Bolibrukh, „The Riemann-Hilbert probléma a komplex projektív egyenesen” , Mat. jegyzetek, 46:3 (1989), 118-120
↑ S. Bloch . [egy]
↑ W. J. Hoffman . Picard-Fuchs differenciálegyenletek aritmetikai tulajdonságai