A logaritmusok története

A logaritmusok , mint algebrai fogalom története az ókorig vezethető vissza. A logaritmus használatának ideológiai forrása és ösztönzője az volt ( Arkhimédész [1] ismeretében ), hogy azonos bázisú hatványok szorzásakor mutatóik összeadódnak [2] : .

Elődök

A 8. századi Virasena indiai matematikus a hatványfüggéseket vizsgálva közzétette a 2., 3., 4. bázis egész számú kitevőit (vagyis logaritmusait) tartalmazó táblázatot [3] .

A döntő lépést a középkori Európa tette meg. A 16. században az összetett számítások iránti igény gyorsan nőtt, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával, valamint a gyökök kivonásával járt . A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: az időigényes szorzást egyszerű összeadásra cserélni, a geometriai és a számtani progressziót speciális táblázatok segítségével összehasonlítani, míg a geometriai lesz az eredeti. [1] . Ekkor az osztást automatikusan felváltja egy mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás, valamint egyszerűsödik a hatványozás és a gyökérkivonás is .

Elsőként Michael Stiefel publikálta ezt a gondolatot „ Arithmetica integra ” című könyvében (1544) , aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének gyakorlati megvalósítása érdekében [4] [5] . Stiefel fő érdeme az egész kitevőről az önkényes racionális kitevőkre való áttérés [6] (ebben az irányban az első lépéseket Nikolay Orem a 14. században, Nicola Schücke a 15. században tette meg).

John Napier és "elképesztő logaritmustáblázata"

1614- ben a skót amatőr matematikus , John Napier latin nyelven publikált egy művet Leírás a csodálatos logaritmustáblázatról ( latinul:  Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ) címmel. Tartalmaz egy rövid leírást a logaritmusokról és tulajdonságaikról, valamint a szinuszok , koszinuszok és érintők logaritmusainak 8 számjegyű táblázatairól , 1' lépéssel. A Napier által javasolt logaritmus kifejezés meghonosodott a tudományban.

Napier a következőképpen magyarázta munkája célját [7] :

Mivel a matematikai művészet gyakorlatában, matematikus kollégák, nincs fárasztóbb, mint a hatalmas késések, amelyeket a hosszú rutin műveletek során - szorzás és osztás, aránykeresés, négyzet- és kockagyökök kiemelése - el kell viselni, valamint a számos hiba. ami besurranhat a válaszba - majd kitartóan töprengtem azon, milyen megbízható és gyors művészettel tudnám megoldani ezeket a nehézségeket. Végül hosszas gondolkodás után elképesztő módot találtam ezeknek a lépéseknek a lerövidítésére... Kellemes feladat ezt a módszert általános használatra matematikusoknak bemutatni.

Napier vázolta a logaritmustáblázatok kiszámításának elméletét másik könyvében, „ Egy csodálatos logaritmustábla felépítése ” ( lat.  Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), amelyet fia, Robert posztumusz adott ki 1619-ben.

A dokumentumok alapján Napier 1594-re elsajátította a logaritmus technikáját [8] . Kidolgozásának közvetlen célja az volt, hogy megkönnyítse Napier komplex asztrológiai számításait [9] ; ezért csak a trigonometrikus függvények logaritmusai kerültek a táblázatokba .

A függvény fogalma még nem létezett, és Napier kinematikusan határozta meg a logaritmust , összehasonlítva az egyenletes és logaritmikusan lassított mozgást; például a szinusz logaritmusát a következőképpen definiálta [10] :

Egy adott szinusz logaritmusa olyan szám, amely aritmetikailag mindig ugyanolyan ütemben nőtt, ahogy a teljes szinusz geometriailag csökkenni kezdett.

Modern jelöléssel a Napier kinematikai modell egy differenciálegyenlettel ábrázolható [11] :

ahol M egy skálázási tényező, amelyet azért vezettünk be, hogy az érték a kívánt számjegyből álló egész szám legyen (a tizedes tört akkor még nem volt elterjedt). Napier úgy vette, hogy M = 10 000 000.

Szigorúan véve Napier rossz függvényt táblázott be, amelyet ma logaritmusnak neveznek. Ha a funkcióját jelöljük , akkor a következőképpen kapcsolódik a természetes logaritmushoz [11] :

Nyilvánvaló, hogy a "teljes szinusz" logaritmusa (amely 90 ° -nak felel meg) nulla - ezt érte el Napier a definíciójával. Azt is szerette volna, hogy minden logaritmus pozitív legyen; könnyű ellenőrizni, hogy ez a feltétel teljesül-e. .

A Napier-logaritmus fő tulajdonsága: ha a mennyiségek geometriai sorozatot alkotnak, akkor logaritmusaik aritmetikai sorozatot alkotnak . A nem Peer függvény logaritmusának szabályai azonban eltértek a modern logaritmus szabályaitól, például:

Továbbfejlesztés

Mint hamarosan kiderült, az algoritmus hibája miatt a Napier tábla összes értéke hibás számot tartalmazott a hatodik számjegy után [12] . Ez azonban nem akadályozta meg, hogy az új számítási módszer széles körben elterjedjen, és sok európai matematikus foglalkozott logaritmikus táblázatok összeállításával. Kepler lelkes dedikációt illesztett Napiernek az általa 1620-ban kiadott csillagászati ​​kézikönyvbe (nem tudva, hogy a logaritmusok feltalálója már meghalt). 1624-ben Kepler kiadta a logaritmikus táblázatok saját változatát ( lat.  Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [13] . A logaritmusok használata lehetővé tette Kepler számára, hogy viszonylag gyorsan befejezze a Rudolph -táblákon végzett sokéves munkát, ami megerősítette a heliocentrikus csillagászat sikerét .

Néhány évvel Napier könyve után megjelentek a logaritmikus táblázatok, amelyek a logaritmus modernebb értelmezését alkalmazták. Henry Briggs londoni professzor 14 számjegyű decimális logaritmustáblázatokat adott ki (1617), és nem trigonometrikus függvényekre, hanem tetszőleges egészekre 1000-ig (7 évvel később Briggs 20000-re növelte a számok számát). 1619-ben a londoni matematikatanár, John Spidell újra kiadta  Napier logaritmikus táblázatait, javítva és kiegészítve, így azok valójában természetes logaritmusok táblázataivá váltak. Spidellnek maguknak a számoknak a logaritmusa is megvolt 1000-ig (sőt, az egység logaritmusa, akárcsak Briggs, nulla volt) – bár Spidell megtartotta az egész számokra való skálázást [14] [15] .

Az 1620-as években Edmund Wingate és William Oughtred feltalálta az első diaszabályt , amely a zsebszámológépek megjelenéséig nélkülözhetetlen számítási eszközként szolgált a mérnökök számára [16] . Ezzel a kompakt eszközzel gyorsan végrehajthat minden algebrai műveletet, beleértve a trigonometrikus függvényeket is [17] . A számítások pontossága körülbelül 3 számjegy.

Hamar kiderült, hogy a logaritmusok helye a matematikában nem korlátozódik a számítási kényelemre. 1629-ben Gregoire de Saint-Vincent belga matematikus kimutatta, hogy a hiperbola alatti terület a logaritmikus törvény szerint változik [18] . 1668-ban a német matematikus, Nicholas Mercator (Kaufmann) felfedezte és Logarithmotechnia című könyvében publikálta a logaritmus végtelen " Mercator-sorozattá " való kiterjesztését [19] . Sok történész szerint a logaritmusok megjelenése erős hatással volt számos matematikai fogalomra, többek között:

1. Az irracionális és transzcendentális számok általános fogalmának kialakulása és felismerése [20] .
2. Az exponenciális függvény megjelenése és a numerikus függvény általános fogalma , az Euler-szám , a differenciálegyenletek elméletének kialakulása [21] .
3. Az Infinite Series első lépései [19] .
4. Általános módszerek különféle típusú differenciálegyenletek megoldására .
5. Lényeges fejlődés a pontos logaritmikus táblázatok kiszámításához szükséges numerikus módszerek elméletében .

A 19. század végéig nem volt általánosan elfogadott logaritmus jelölés, az a-alapot vagy balra és a log szimbólum fölé, majd felette jelölték. Végül a matematikusok arra a következtetésre jutottak, hogy az alap legkényelmesebb helye a vonal alatt van, a log : szimbólum után . A legelterjedtebb - decimális és természetes - logaritmus-típusok rövid megnevezései egyszerre több szerzőnél jóval korábban megjelentek, és végül a 19. század végére rögzítették is [22] .

A logaritmus modern felfogásához közel álló - mint a hatalommá emeléssel fordított művelet - először Wallisban (1685) és Johann Bernoulliban (1694) jelent meg, végül Euler legitimálta [12] . A "Bevezetés a végtelen elemzésébe" ( 1748 ) című könyvében Euler mind az exponenciális , mind a logaritmikus függvények modern definícióit adta , hatványsorokká terjesztette ki, és különösen megjegyezte a természetes logaritmus szerepét [23] . Az Eulernek megvan az az érdeme is, hogy a logaritmikus függvényt kiterjeszti a komplex tartományra .

Logaritmikus táblázatok

A logaritmus tulajdonságaiból az következik, hogy a többértékű számok időigényes szorzása helyett elegendő (a táblázatok szerint) megkeresni és összeadni logaritmusukat, majd ugyanezekkel a táblázatokkal végrehajtani a potenciálást (" szakasz " Antilogaritmusok " ) , azaz az eredmény értékét a logaritmusa alapján találja meg. Az osztás csak abban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják.

Az első logaritmustáblázatokat John Napier (1614) adta ki, és csak a trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták, méghozzá hibával. Tőle függetlenül Jost Bürgi , Kepler barátja publikálta táblázatait ( 1620 ). 1617- ben Henry Briggs oxfordi matematikaprofesszor olyan táblázatokat adott ki, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták 1-től 1000-ig, 8 (később 14) számjegyből. De a Briggs-táblázatokban is voltak hibák. Az első tévedhetetlen kiadás Georg Vega ( 1783 ) táblázatai alapján csak 1857 -ben jelent meg Berlinben ( Bremiker táblái ) [24] .

Oroszországban az első logaritmustáblázatokat 1703-ban adták ki L. F. Magnyitszkij [25] részvételével . A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg [26] :

1. Bradis V. M. Négyértékű matematikai táblázatok. M.: Túzok, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Az 1921 óta megjelent Bradis táblázatokat oktatási intézményekben és mérnöki számításokban használták, amelyek nem igényelnek nagy pontosságot. Tartalmaztakszámok és trigonometrikus függvények decimális logaritmusainak mantisszáját , természetes logaritmusokat és néhány más hasznos számítási eszközt.
2. Vega G. Hétjegyű logaritmustáblázatok, 4. kiadás, M.: Nedra, 1971. Szakszerű gyűjtemény a pontos számításokhoz.
3. Bremiker K. Logaritmikus-trigonometrikus táblázatok. M.: Nauka, 1962. 664 p. Klasszikus hatjegyű táblázatok, kényelmesek a trigonometrikus függvényekkel végzett számításokhoz .
4. A trigonometrikus mennyiségek természetes értékeinek ötjegyű táblázatai, logaritmusaik és számok logaritmusai, 6. kiadás, M .: Nauka, 1972.
5. Természetes logaritmusok táblázatai, 2. kiadás, 2 kötetben, Moszkva: Nauka, 1971.
6. Komplex számok logaritmusának tízjegyű táblázatai. M., 1952.

A logaritmus kiterjesztése az összetett tartományra

Az első kísérleteket a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tette , de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert maga a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott [27] . Az erről szóló vita először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler között zajlott. Bernoulli és D'Alembert úgy vélte, hogy definiálni kell , míg Leibniz azzal érvelt, hogy egy negatív szám logaritmusa képzeletbeli szám [27] . A negatív és komplex számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől [28] . Bár a vita folytatódott (d'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler megközelítése a 18. század végére egyetemes elismerést kapott.

A 19. században a komplex elemzés fejlődésével a komplex logaritmus tanulmányozása új felfedezéseket ösztönzött. Gauss 1811-ben kidolgozott egy teljes elméletet a logaritmikus függvény többértékűségéről [29] , amelyet az integráljaként határoztak meg . Riemann az erről és a hasonló funkciókról már ismert tényekre támaszkodva megalkotta a Riemann-felületek általános elméletét .

A konformális leképezések elméletének fejlődése megmutatta, hogy a Mercator-projekció a térképészetben , amely még a logaritmusok felfedezése (1550) előtt keletkezett, összetett logaritmusként írható le [30] .

Irodalom

• Abelson I. B. A logaritmusok születése . - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 p.
• Girshvald L. Ya. A logaritmusok felfedezésének története. - Harkov: Harkovi Egyetem Kiadója, 1952. - 33 p.
• Klein F. Az elemi matematika magasabb nézőpontból . - M . : Nauka, 1987. - T. I. Számtan. Algebra. Elemzés. — 432 p.
• A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
• A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Geometria. Az analitikus függvények elmélete. - M . : Nauka, 1981. - T. II.
• Uspensky Ya. V. Esszé a logaritmusok történetéről. - Petrograd: Tudományos Kiadó, 1923. - 78 p.

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Esszé a logaritmusok történetéről, 1923 , p. 9.
2. ↑ Klein F. Elemi matematika magasabb nézőpontból, 1987 , p. 206.
3. ↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , in Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, p. 329 Archivált : 2018. március 17. a Wayback Machine -nál 
4. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 54-55.
5. ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logathm&q=stifel > 
6. ↑ Klein F. Elemi matematika magasabb nézőpontból, 1987 , p. 210.
7. ↑ Stewart, Ian . Stewart professzor hihetetlen számai = Stewart professzor hihetetlen számai. - M . : Alpina ismeretterjesztő, 2016. - S. 244. - 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
8. ↑ Uspensky Ya. V. Esszé a logaritmusok történetéről, 1923 , p. 13.
9. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 56.
10. ↑ Olvasó a matematika történetéről. Matematikai elemzés. Valószínűségelmélet / Szerk. A. P. Juskevics . - M . : Nevelés, 1977. - S. 40. - 224 p.
11. ↑ 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 59.
12. ↑ 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 61.
13. ↑ Uspensky Ya. V. Esszé a logaritmusok történetéről, 1923 , p. 39.
14. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 63.
15. ↑ Charles Hutton. Matematikai táblázatok. Archiválva : 2016. szeptember 11., a Wayback Machine London, 1811, p. harminc.
16. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 65-66.
17. ↑ Berezin S.I. Számláló diaszabály. - M . : Mashinostroenie, 1968.
18. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 133.
19. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Esszé a logaritmusok történetéről, 1923 , p. 52.
20. ↑ Klein F. Elemi matematika magasabb nézőpontból, 1987 , p. 51, 286, 352.
21. ↑ Klein F. Elemi matematika magasabb nézőpontból, 1987 , p. 213, 217.
22. ↑ Florian Cajori . A matematika története, 5. kiadás  (határozatlan idejű) . - AMS Könyvesbolt, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024 .
23. ↑ Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - S. 25.
24. ↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 62.
25. ↑ Gnedenko B. V. Esszék az oroszországi matematika történetéről, 2. kiadás. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 p. - ISBN 5-484-00123-4 .
26. ↑ Logaritmikus táblázatok // Nagy Szovjet Enciklopédia.
27. ↑ 1 2 Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 325-328.
28. ↑ Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
29. ↑ A 19. század matematikája. II. kötet: Geometria. Az analitikus függvények elmélete, 1981 , p. 122-123.
30. ↑ Klein F. Az elemi matematika magasabb nézőpontból . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. — 416 p.