Exponenciális függvény

Az exponenciális függvény egy matematikai függvény , ahol a fokszám alapja , és a kitevő . ${\displaystyle f(x)=a^{x))$ $a$ $x$

Valós esetben a fok alapja valamilyen nemnegatív valós szám (negatív számoknál a valós nem egész hatványra való emelés nincs definiálva), a függvény argumentuma pedig egy valós kitevő. $a$
A komplex függvények elméletében egy általánosabb esetet veszünk figyelembe, amikor egy tetszőleges komplex szám lehet argumentum és kitevő .
Legáltalánosabb formájában Leibniz vezette be 1695-ben. $u^{v}$

Külön kiemelendő az az eset, amikor az e szám a fokozat alapjaként szolgál . Az ilyen függvényt kitevőnek (valós vagy összetett) nevezzük. Ugyanakkor, mivel bármely pozitív bázis ábrázolható az e szám hatványaként, gyakran a kitevő fogalmát használják az "exponenciális függvény" fogalma helyett. $a$

Valódi függvény

Exponenciális függvény definíciója

Legyen nemnegatív valós szám, legyen racionális szám : . Ezután egy racionális kitevővel rendelkező fok tulajdonságai alapján határozzuk meg, a következő szabályok szerint. $a$ $x$ $x={\frac {m}{n}}$ $a^{x}$

Ha , akkor . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m))}$
Ha és , akkor . $x=0$ $a\neq 0$ $a^{x}=1$
- A jelentés definiálatlan (lásd: Nulla a nulla hatványáig ). $0^{0}$
Ha és , akkor . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- A for értéke nincs megadva. $a^{x}$ $x<0,a=0$

Egy tetszőleges valós mutató esetén az érték a sorozat határaként definiálható $x$ $a^{x}$

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n))

ahol racionális számok sorozata, amely -hez konvergál . Azaz $\{r_{n}\}$ $x$

\lim _{n\to \infty }r_{n}=x

Tulajdonságok

Hatványozási tulajdonságok:

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy))$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / = ${\displaystyle b^{x))$ ${\megjelenítési stílus (a/b)^{x))$

Monoton intervallumok:

A esetén az exponenciális függvény mindenhol növekszik, és: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (mindenkinek ) $n$
$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

A függvény esetében a függvény csökken, és: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (mindenkinek ) $n$
$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

Vagyis az exponenciális függvény a végtelenben gyorsabban növekszik, mint bármely polinom . A nagy növekedési ütemet például a papírhajtogatási probléma szemlélteti .

Fordított funkció:

A hatványfüggvény gyökfüggvényének bevezetésével analóg módon bevezetjük a logaritmikus függvényt , az exponenciális inverzét:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( alap logaritmus )

x

a

e szám:

Megjegyezzük az exponenciális függvény egyedi tulajdonságát, találunk (olyan számot, amelynek az exponenciális függvény deriváltja egyenlő magával a függvénnyel): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $a$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

A definiálás lehetősége könnyen látható a következő rövidítése után : $a_{0}$ ${\displaystyle a_{0}^{x))$

{\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx))

Ha ezt választjuk , végül megkapjuk az Euler-számot : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n))$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Megjegyzendő, hogy a függvényt sorozatként más módon is ábrázolhatjuk: (az érvényesség megállapítása egyszerű tagonkénti differenciálással): $e^{x}$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{ 3} \több mint 3!}+{x^{4} \több mint 4!}+\cpont

Ahonnan pontosabb közelítésünk van:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}

Egy szám egyedisége könnyen kimutatható variálással . Valójában, ha valahol magasabban halad, mint , akkor ugyanazon az intervallumon van egy terület, ahol . $e$ $e^{x}$ ${\displaystyle e_{1}^{x))$ $e^{x}$ $(e_{1}^{x})'<e^{x}$

Különbségtétel:

A természetes logaritmusfüggvény segítségével tetszőleges pozitív bázissal kifejezhető exponenciális függvény a kitevőben. A fok tulajdonsága szerint: , ahonnan a kitevő tulajdonsága és a komplex függvény differenciálási szabálya szerint: $\ln \,x:e^{\ln x}=x$ ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x))$

{\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Határozatlan integrál:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potenciálás és az antilogaritmus

Potencírozás (a német potenzieren [K 1] szóból ) - egy szám keresése a logaritmusának ismert értékével [1] , azaz az egyenlet megoldása . A logaritmus definíciójából az következik, hogy tehát a hatványra emelést más szavakkal nevezhetjük „bázisonkénti potenciálásnak ” , vagy exponenciális függvény számításának . $\log _{a}x=b$ $x=a^{b}$ $a$ $b$ $b$ $a$ $b$

Az x szám antilogaritmusa [2] a potenciálás eredménye, vagyis az a szám, amelynek logaritmusa (adott bázisra ) egyenlő a [2] [3] számmal : $a$ $x$

\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.

Az "antilogaritmus" kifejezést Wallis vezette be 1693-ban [4] . Az antilogaritmust önálló fogalomként használják logaritmikus táblázatokban [5] , diaszabályokban , mikrokalkulátorokban . Például egy szám kockagyökének logaritmikus táblázatokkal történő kinyeréséhez meg kell keresnie a szám logaritmusát elosztva 3-mal, majd (az antilogaritmusok táblázata segítségével) meg kell keresnie az eredmény antilogaritmusát. $a$ $a,$

A logaritmusokhoz hasonlóan a bázishoz vagy 10-hez viszonyított antilogaritmust természetes [6] -nak , illetve decimálisnak nevezzük. $e$

Az antilogaritmust fordított logaritmusnak is nevezik [3] .

A műszaki számológépekben a potenciálást általában két függvényként ábrázolják: és . $e^{x}$ ${\displaystyle 10^{x))$

Komplex függvény

A kitevő kiterjesztéséhez a komplex síkra ugyanazzal a sorozattal definiáljuk, a valódi argumentumot egy komplexre cserélve:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{ 3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots

Ez a függvény ugyanazokkal az alapvető algebrai és analitikai tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valódi. Elválasztva a valós részt a képzeletbeli résztől a sorozatban, megkapjuk a híres Euler-képletet : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Ez azt jelenti, hogy a komplex kitevő periodikus a képzeletbeli tengely mentén:

{\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z))

Egy tetszőleges komplex bázissal és kitevővel rendelkező exponenciális függvény könnyen kiszámítható a komplex kitevő és a komplex logaritmus segítségével .

Példa: ; mivel (a logaritmus főértéke), végül megkapjuk: . $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2))$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Potencírozás / Matematikai enciklopédikus szótár, M . : Szovjet Enciklopédia, 1988, 479. o.
↑ 1 2 Antilogaritmus / Matematikai enciklopédikus szótár , M .: Szovjet Enciklopédia, 1988, 73. o.
↑ 1 2 Antilogaritmus / Vinogradov, Mathematical Encyclopedia, 1. kötet.
↑ A 17. század matematikája // A matematika története, három kötetben / Szerk.: A. P. Juskevics . - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Logaritmikus táblázatok / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, 330. o.
↑ Pénzügyi eszközök – Szerzői csapat – Google Könyvek . Letöltve: 2021. július 8. Az eredetiből archiválva : 2021. július 9.. (határozatlan)

Megjegyzések

↑ A kifejezést először Johann Rahn svájci matematikus találta meg (1659).

Irodalom

Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete, I., II. kötet. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritmus // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online) Treccani