Polinom

A változók polinomja (vagy polinom a görög πολυ- „sok” + latin név „név” szóból) a monomok összege, vagy szigorúan a forma véges formális összege. $n$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n))$

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, ahol

$I=(i_{1},i_{2},\pontok ,i_{n})$ - nem negatív egész számok halmaza , amelyet többindexnek neveznek , $n$
$c_{I}$ - a polinom együtthatójának nevezett szám , amely csak a többindextől függ . ${\mathit {I}}$

Konkrétan egy változóban lévő polinom az alak véges formális összege

{\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m))

, ahol

$c_{i}$ — rögzített együtthatók ,
$x$ - változó .

Egy polinom segítségével bevezetjük az " algebrai egyenlet ", az " algebrai függvény " és az " algebrai szám " fogalmát.

Tanulmány és alkalmazás

A polinomegyenletek és megoldásaik tanulmányozása sokáig talán a "klasszikus algebra " fő célja volt.

A matematikában számos transzformáció kapcsolódik a polinomok tanulmányozásához : a nulla , a negatív , majd a komplex számok bevezetése , valamint a csoportelmélet , mint a matematika ágának megjelenése és a speciális függvényosztályok elkülönítése a matematikai elemzésben . .

Tekintettel arra, hogy a polinomokat tartalmazó számítások egyszerűek a bonyolultabb függvényosztályokhoz képest, és hogy a polinomok halmaza sűrű a folytonos függvények terében az euklideszi tér kompakt részhalmazain (lásd Weierstrass közelítési tételét ), a bővítési módszerek sorozat és polinom interpoláció a számításban .

A polinomok kulcsszerepet játszanak az algebrai geometriában is . Kulcsobjektuma a halmazok, amelyek polinomiális egyenletrendszerek megoldásaiként definiálhatók .

A transzformációs együtthatók polinomiális szorzás speciális tulajdonságait az algebrai geometriában , az algebrában , a csomóelméletben és a matematika más ágaiban használják különféle objektumok tulajdonságainak polinomok segítségével történő kódolására vagy kifejezésére.

Kapcsolódó definíciók

A nézetpolinomot monomiális vagy többindexű monominak nevezzük . $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\pontok ,\,i_{n})$
A többindexnek megfelelő monomit szabad tagnak nevezzük . $I=(0,\pontok,\,0)$
Egy (nem nulla) monom teljes hatványát egész számnak nevezzük . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\pontok +i_{n}$
A többindexek halmazát , amelyeknél az együtthatók nem nullák, a polinom hordozójának, konvex burkát pedig Newton-poliédernek nevezzük . ${\mathit {I}}$ $c_{I}$
Egy polinom foka a monomjai fokszámának maximuma. Az azonos nulla fokát vagy határozatlannak tételezzük fel, vagy avagy(lásd a nulla polinom fokszámát ). [egy] $-egy$ $-\infty$
Egy polinomot, amely két monom összege, binomiálisnak vagy binomiálisnak nevezzük ,
Egy polinomot, amely három monom összege, trinomiálisnak vagy trinomiálisnak nevezzük .
A polinom együtthatóit általában egy adott kommutatív gyűrűből veszik (leggyakrabban egy mezőből , például a valós vagy komplex számok mezőjéből ). Ebben az esetben az összeadás és szorzás műveleteit tekintve a polinomok egy gyűrűt alkotnak (sőt, egy nulla osztó nélküli gyűrű felett asszociatív-kommutatív algebrát ), amelyet -vel jelölünk . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\pontok,x_n]$
Egy változóban lévő polinom esetében az egyenlet megoldását gyökének nevezzük . $p(x)$ $p(x)=0$

Polinom függvények

Legyen algebra egy gyűrű felett Egy tetszőleges polinom polinomfüggvényt határoz meg $A$ $R.$ $p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$

p_{R}\colon A\to A.

A leggyakrabban megfontolt eset $A=R.$

Ha valós vagy komplex számok mezője (vagy bármely más végtelen számú elemű mező ), a függvény teljesen meghatározza a p polinomot . Ez azonban általános esetben nem igaz, például: a és from polinomok azonosan egyenlő függvényeket definiálnak . $R$ $f_{p}\colon R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\equiv x$ $p_{2}(x)\ekvivalens x^{2}$ $\mathbb{Z } _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2}\ to \mathbb{Z } _{2}$

Egy valós változó polinomiális függvényét teljes racionális függvénynek nevezzük .

A polinomok típusai

Az egy változóban lévő polinomot unitáriusnak , normalizáltnak vagy redukáltnak nevezzük , ha a vezető együtthatója eggyel egyenlő.
Homogénnek nevezzük azt a polinomot, amelynek mindegyik monomija azonos fokszámú .
- Például - két változó homogén polinomja, de nem homogén. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Azt a polinomot, amely egy adott mezőből származó együtthatókkal rendelkező alacsonyabb fokú polinomok szorzataként ábrázolható, reducibilisnek (az adott mező felett), egyébként irreducibilisnek nevezzük .

Tulajdonságok

Egy tetszőleges integritási tartomány feletti polinomiális gyűrű maga is integritástartomány.
Egy tetszőleges számú változóból álló polinomgyűrű bármely faktoriális gyűrű felett maga is faktoriális.
A mező feletti egy változóban lévő polinomok gyűrűje a főideálok gyűrűje , azaz bármely ideálja generálható egy elemmel.
- Ezen túlmenően egy mező feletti egy változóban lévő polinomiális gyűrű euklideszi gyűrű .
A racionális gyöktétel .

Oszthatóság

Az irreducibilis polinomok szerepe a polinomgyűrűben hasonló a prímszámok szerepéhez az egész számok gyűrűjében . Például igaz a tétel: ha a polinomok szorzata osztható egy irreducibilis polinommal , akkor p vagy q osztható -val . Minden nullánál nagyobb fokú polinom egy adott mezőben egyedi módon bomlik le irreducibilis tényezők szorzatára (a nulla fokos tényezőkig). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

Például egy polinom , amely a racionális számok terén irreducibilis, a valós számok terén három, a komplex számok terén pedig négy tényezőre számolható. $x^{4}-2$

Általánosságban elmondható, hogy egy változóban lévő minden polinom a valós számok területén első és második fokú tényezőkre, a komplex számok területén pedig az első fokú tényezőkre bomlik ( az algebra alaptétele ). $x$

Két vagy több változó esetén ez már nem állítható. Bármely mező felett, bármely esetén vannak olyan polinomok a változókban, amelyek a mező bármely kiterjesztésében irreducibilisek. Az ilyen polinomokat abszolút irreducibilisnek nevezzük. $n>2$ $n$

Változatok és általánosítások

Ha a definícióban negatív hatványok is megengedettek, akkor az eredményül kapott objektumot Laurent-polinomnak nevezzük .
kvázi-polinom
Trigonometrikus polinom
Teljesítmény sorozat

Lásd még

Irodalom

Vinberg E. B. Polinomok algebra. - M . : Nevelés, 1980. - 176 p.
Kurosh A. G. Magasabb algebrai tanfolyam, 9. kiadás. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Felső algebra, 2. kiadás. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Algebra gyakorlati könyv. - M . : Oktatás, 1985. - 127 p.
Prasolov VV polinomok . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Feladatgyűjtemény magasabb algebrában. - M. , 1977.

Jegyzetek

↑ Eric W. Weisstein. Nulla polinom . mathworld.wolfram.com . Letöltve: 2021. május 28. Az eredetiből archiválva : 2021. május 1.

Linkek

Polinom / A. I. Markushevich // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119786822 J9U : 987007563144505171 LCCN : sh85104702 NDL : 00572625 NKC : ph135425