Csökkentett polinom

A komplex számok algebrájában redukált polinom egy változóban lévő polinom egységnyi vezető együtthatóval [1] . A polinom vezető együtthatója a legmagasabb fokú monom szorzója [2] . Ennek megfelelően a redukált polinom egy x változóhoz képest alakja

ahol a n −1 , …, a 0 az együtthatók.

Polinom redukció

A komplex számok halmazában van egy 1 ( egy ) elem, a szorzás szempontjából semleges , és ha összeadjuk, kivonjuk, szorozzuk és elosztjuk egy nem nulla számmal, akkor mindig komplex számot kapunk, azaz ez a halmaz egy mező , ami azt jelenti, hogy ezen a mezőn bármely polinom redukálható redukált polinomra, amelynek gyökei változatlanok maradnának, osztva a vezető együtthatóval. Az algebra alaptétele és a Bezout-tétel szerint bármely komplex polinom felbontható n ( x  −  x 1 )…( x  −  x n ) alakban , ahol x 1 , …, x n a polinom összes gyöke, feltéve , hogy figyelembe veszi a sokaságukat , és a n lesz a vezető tényező. Ezért, ha egy változó bármely polinomját redukált polinommá alakítjuk, az ( x  −  x 1 )…( x  −  x n ) alakban ábrázolható. Így kiderül, hogy a komplex számok mezőjében a redukált polinom, amely a multiplicitás figyelembevételével azonos gyökerű, mint az eredeti, egyértelmûen definiált.

Ingatlan

Lezárás szorzás alatt

Az összes redukált polinom halmaza (valamelyik gyűrűre együtthatóval és x változóval ) szorzáskor zárt, vagyis a redukált polinomok szorzata mindig redukált polinom.

Egész algebrai számok

Az algebrai egész szám olyan szám, amely egy egész együtthatós redukált polinom gyöke lehet [3] . Az egész algebrai számok durván szólva az egész számokat ugyanazon elv szerint általánosítják, mint amilyen a racionális számok általánosítása algebrai számokká : ha az algebrai szám első hatványa , akkor racionális, ha pedig algebrai, akkor egész szám . Sablon: Sfb .

Minimális polinom

Az algebrai számok, amelyek az algebrai egész számok "racionális" általánosításai, olyan számok, amelyek olyan polinomok gyökeként ábrázolhatók, amelyek racionális együtthatói nem azonosak nullával. Végtelenül sok ilyen polinom létezik: előállíthatók úgy, hogy az eredeti polinomot megszorozzuk egy nem nulla együtthatóval, valamint egy lineáris tényezővel.

Ezen polinomok közül a "legoptimálisabb" a minimális polinom. Egy algebrai szám minimális polinomja (valamelyik mező együtthatóival, amelyek egyet tartalmaznak) a legkisebb fokú redukált polinom.

Jegyzetek

  1. ↑ Vinberg, 2013 , p. 99.
  2. ↑ Vinberg, 2013 , p. 91.
  3. ↑ Vinberg, 2013 , p. 385.

Irodalom

Vinberg E.B. Algebra tanfolyam. - 2., törölve .. - MTsNMO, 2013. - 590 p. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .