Laurent polinom

Egy változó Laurent - polinomja egy mező felett a változó pozitív és negatív hatványainak lineáris kombinációja -tól kezdődő együtthatókkal . A Laurent-polinom abban különbözik a közönséges polinomoktól, hogy a kitevő negatív is lehet. A Laurent-polinomok különösen érdekesek egy komplex változó függvényelméletében ( lásd Laurent-sorozat ). $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Definíció

Egy mezőből származó együtthatókat tartalmazó Laurent-polinom az alak kifejezője $\mathbb {F}$

p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,

ahol X formális változó, egész szám (nem feltétlenül pozitív), és csak egy véges szám nem negatív. $k$ $p_{k}$

Két Laurent-polinom akkor egyenlő, ha a megfelelő együtthatójuk egyenlő. A Laurent-polinomok ugyanúgy összeadhatók és szorozhatók, mint a közönséges polinomok, de ne feledje, hogy X -nek lehetnek negatív hatványai.

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _ {i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

és

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.

Mert a nemnegatív együtthatók száma és véges, akkor minden összegnek véges számú tagja lesz, és így a Laurent-polinom jelenik meg. $a_{j}$ $b_{j}$

Tulajdonságok

A mező feletti Laurent-polinom véges számú nemnegatív együtthatóval rendelkező Laurent-sorozatnak tekinthető . $\mathbb {C}$
A Laurent-polinomgyűrű a tört racionális függvények gyűrűjének részgyűrűje .

Irodalom

Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 p.