Teljes racionális funkció

A teljes racionális függvény (egyben polinomfüggvény ) egy polinom által meghatározott numerikus függvény . Egy teljes racionális függvény legegyszerűbb képviselői a konstans , a lineáris és a másodfokú függvények.

A tört racionális függvények mellett a teljes racionális függvények a racionális függvények speciális esetei .

Definíció

Egy teljes racionális függvény egy valós változó függvénye a következő formában:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x +a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},

hol és . _ $n\in \mathbb{N}$ $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {R}$ $a_{n}\neq 0$

Más szóval, egy teljes racionális függvény több hatványfüggvény lineáris kombinációja .

Jegyzetek

Egy teljes racionális függvény speciális esete a függvény , amelynek minden együtthatója nulla. $f(x)=0$

A természetes szám ( a változó legnagyobb kitevője ) határozza meg a polinomfüggvény mértékét. $n$ $x$
A valós számokat a polinomiális függvény együtthatóinak nevezzük . Ebben az esetben a számot gyakran vezető együtthatónak, a számot pedig szabad együtthatónak nevezik. ${\displaystyle a_{n},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0))$ $a_n$ $a_{0}$

Típusok

A polinomiális függvény állandó függvénnyé degenerálódik $n=0$ $f(x)=a_{0}$
Amikor egy lineáris függvényt kapunk . $n=1$ ${\displaystyle f(x)=a_{1}x+a_{0))$
Amikor egy másodfokú függvényt kapunk . $n=2$ ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$
Amikor egy köbfüggvényt kapunk . $n=3$ ${\displaystyle f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$
Ha az összes többi együttható egyenlő , akkor létezik egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény . $a_{n}\neq 0$ $0$ $f(x)=a_{n}x^{n}$

Példák

A függvény harmadfokú polinomfüggvény együtthatókkal ; ; és . $f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4$ $-2$ $3$ $-5$ $négy$
A függvény egy ötödfokú polinomfüggvény együtthatókkal ; ; ; ; és . $f(x)=x^{5}+3x^{3}+5x$ $egy$ $0$ $3$ $0$ $5$ $0$
A függvény egy másodfokú polinomfüggvény (vagyis másodfokú függvény), és együtthatókkal . $f(x)={\frac {1}{3}}x^{2}-{\sqrt {2}}$ ${\frac {1}{3))$ $-{\sqrt {2))$

Alaptulajdonságok

Tartomány, értékkészlet, korlátok

A valós számok mezője feletti polinomiális függvény mindenhol definiálva van, és a teljes definíciós tartományában folytonos . Értékkészlete egyben a valós számok halmazának részhalmaza is. Páros értékhalmaz esetén a vezető együttható előjelétől függően felülről vagy alulról korlátos lesz (lásd még a táblázatot). $n$ $a_n$

A végtelenben lévő polinomiális függvény határértéke mindig létezik, és fajlagos értéke a fok és az előjel egyenletességétől függ a legmagasabb együtthatónál . Ebben az esetben egy polinomiális függvény grafikonja pontosan ugyanúgy viselkedik, mint egy hatványfüggvény grafikonja : $x\to \pm \infty$ $n$ $a_n$ ${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n))$

	még $n$		páratlan $n$
$a_{n}>0$	$f(x)\to +\infty$ at (az értékkészlet alulról korlátozott) $x\to \pm \infty$		$f(x)\to -\infty$ at at $x\to -\infty$ $f(x)\to +\infty$ $x\to +\infty$
$a_{n}<0$	$f(x)\to -\infty$ at (az értékkészlet felülről korlátos) $x\to \pm \infty$		$f(x)\to +\infty$ at at $x\to -\infty$ $f(x)\to -\infty$ $x\to +\infty$

A polinom függvény határértéke minden pontban egybeesik a függvény értékével ebben a pontban: . $x_{0}$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Például egy függvényhez a következőket találjuk: $f(x)=3x^{8}-5x^{4}+1$

\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(3x^{8})=+\infty

\lim _{x\to 1}f(x)=f(1)=3-5+1=-1

Paritás és szimmetria

A polinomiális függvény páros, ha a jelölésében szereplő összes kitevő páros szám . Egy ilyen függvény grafikonja tengelyirányú szimmetriával rendelkezik az y tengelyhez képest ) . Ez a szimmetria a páros függvényekre érvényes egyenlőség miatt következik be. Például a következő polinomiális függvények párosak: $f(-x)=f(x)$

${\displaystyle f(x)=-2x^{4}+3x^{2))$ mutatókkal és $négy$ $2$
$f(x)=-2x^{4}+3x^{2}+1$ mutatókkal ; és $négy$ $2$ $0$
$f(x)=5x^{6}-2$ mutatókkal és $6$ $0$

Egy polinomiális függvény akkor páratlan, ha a jelölésében szereplő összes kitevő páratlan szám. Egy ilyen függvény grafikonjának központi szimmetriája van a koordinátarendszer középpontjához képest ). Ez a szimmetria a páratlan függvényekre érvényes egyenlőség miatt következik be. Például a következő polinomiális függvények páratlanok: $f(-x)=-f(x)$

${\displaystyle f(x)=2x^{7}-3x^{5))$ mutatókkal és $7$ $5$
$f(x)=-2x^{5}+3x^{3}-2x$ mutatókkal ; és $5$ $3$ $egy$

Ha egy polinomiális függvény páros és páratlan kitevőt is tartalmaz, akkor a függvény nem páros és nem páratlan. Emiatt a gráfja nem szimmetrikus sem az y tengelyhez, sem a koordinátarendszer középpontjához képest. Az ilyen függvényeknek azonban bonyolultabb szimmetriaesetei is lehetnek. Különösen a következő állítások igazak:

Ha valamilyen számra , akkor ennek a függvénynek a grafikonja tengelyirányú szimmetriával rendelkezik az egyeneshez képest . $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $x = x_0$
Ha valamilyen számpárra , akkor ennek a függvénynek a grafikonja központi szimmetriával rendelkezik a ponthoz képest . ${\displaystyle f(x_{0}+x)-y_{0}=-f(x_{0}-x)+y_{0))$ $x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$ $P(x_{0}|y_{0})$

Ezenkívül a következő tulajdonságok is érvényesek:

Az egyes másodfokú polinomfüggvények grafikonja szimmetrikus egy, az y tengellyel párhuzamosan áthaladó egyenesre a parabola csúcsán keresztül , amely egyben ennek a függvénynek a szélsőpontja is.
Az egyes harmadfokú polinomfüggvények grafikonja szimmetrikus az inflexiós pontjához képest .

Származékos és antiderivatív

Differenciálási szabályok

$(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)$
${\displaystyle (a\cdot x^{n})'=a\cdot n\cdot x^{n-1))$
$(a)'=0$

Integrációs szabályok

$\int [u(x)+v(x)]dx=\int u(x)dx+\int v(x)dx$
$\int (a\cdot x^{n})dx={\dfrac {a}{n+1}}\cdot x^{n+1}+C$
$\int \!a\,dx=ax+C$

A polinomiális függvény a teljes definíciós tartományában differenciálható . Származéka könnyen megtalálható elemi differenciálási szabályok segítségével . Tehát egy függvény deriváltját a következőképpen számítjuk ki: $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1$

{\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'=\\&=(2x^{3})'+(- 4x^{2})'+(5x)'+(-1)'=\\&=2\cpont 3x^{2}-4\cpont 2x+5\cpont 1x^{0}-1\cpont 0 =\\&=6x^{2}-8x+5=\end{igazított}}

Egy polinom függvény is integrálható a teljes definíciós tartományában . Az antiderivált elemi integrációs szabályok segítségével is könnyen megtalálható. Például a fenti példában szereplő függvény antideriváltját a következőképpen számítjuk ki: $f(x)$

F(x)=\int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)dx={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4 }{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c

, ahol

c\in \mathbb {R} .

Könnyen belátható, hogy egy polinomi fokfüggvény deriváltja és antideriváltja maga is polinom. Ráadásul a függvénynek van foka , a függvénynek pedig foka (kivéve a triviális esetet, amikor ). $f(x)$ $n$ $f'(x)$ $n-1$ $F(x)$ $n+1$ $f(x)=0$

Egy polinomiális függvény szinguláris pontjai

Függvény nulláinak kiszámítása

A polinomfüggvény nullái egybeesnek az egyenletében szereplő polinom gyökeivel. Így a nullák megtalálásához meg kell oldani az egyenletet . A megoldási mód nagymértékben függ a függvény konkrét egyenletétől. $f(x)=0$

Ha a függvényt faktorizált formában írjuk fel , ahol minden tényező egy lineáris binomiális , akkor a valós számok , , … a függvény nullái , a természetes számok pedig , , … ennek megfelelő nulláinak többszörösét mutatják . funkció. Ebben az esetben teljesül a feltétel: . Így egy függvény foka határozza meg a nullák maximális számát a valós számok mezőjében . Abban az esetben, ha egy polinom függvényt a komplex számok mezejére általánosítunk , az algebra alaptételének megfelelően a következő egyenlőség érvényesül: . ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\pontok +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$ $f(x)=a_{n}\cdot (x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsb (x) -x_{m})^{k_{m}}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{m}$ $f(x)$ $k_{1}$ $k_{2}$ $k_m$ $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}\leq n$ $n$ $f(x)$ $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n$

Így például egy polinomiális függvénynek három nullája van, nevezetesen: (3. multiplicitás), (1. multiplicitás) és (2. multiplicitás). A négyzetes binomiálisnak nincsenek valós gyökerei, így nem faktorizálható tovább lineáris tényezőkké. $f(x)=-0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)$ $x_{1}=0$ $x_{2}=2$ $x_{3}=-3$ $x^{2}+1$

Általában a polinomiális fokfüggvény nulláinak megtalálásához a lineáris és másodfokú egyenletek megoldására használt módszereket használjuk . Fokozatú polinomfüggvény nulláinak megtalálásához , ahol lehetséges, különféle speciális módszerek alkalmazhatók magasabb fokú algebrai egyenletek megoldására (különösen a biquadratic és a hatványegyenletek esetében). Általánosabb esetekben vagy olyan univerzális módszereket használnak, mint a polinomok oszlopos osztása, vagy Horner-sémát , amelyek azonban csak egész (pontos) megoldást tesznek lehetővé, vagy pedig numerikus módszereket (például Newton-módszert ) használnak az összes megkeresésére. (de csak hozzávetőleges) megoldásokat. $n=1$ $n=2$ $n\ge 3$

A polinom egész szám gyökeinek megtalálásának módszerei a Bézout-tétel egy következményén alapulnak . Különösen egy egész együtthatós polinomiális függvény faktorizálásához először a szabad együttható összes osztója közül egy tetszőleges gyöket választunk ki , azaz egy olyan egész számot, amelyre igaz: . Ezután, ha a polinomot elosztjuk egy binomimmal egy oszloppal , vagy a Horner-séma használatával, az eredeti polinomot a formára faktorizáljuk , ahol egy fokszámú polinom . Így az eredeti függvény mértéke, és így összetettsége is csökken. Egy függvény nulláinak megtalálása egy függvény nulláinak megtalálására redukálódik . ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\pontok +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$ $a_{0}$ $x_{0}$ $f(x_{0})=0$ $f(x)$ ${\displaystyle x-x_{0))$ $f(x)=(x-x_{0})\cdot g(x)$ $g(x)$ $n-1$ $f(x)$ $g(x)$

Így például egy egész együtthatós függvény nulláinak megtalálásához (lásd a példát) először egy gyöket „kitalálunk” (a szám a szám osztói között van ), majd az eredeti polinomot elosztjuk a binomimmal . A függvény fennmaradó nulláinak további megtalálása az eredményül kapott függvény nulláira redukálódik , ami könnyen megtalálható a megfelelő másodfokú egyenlet megoldásával. $f(x)=x^{3}-12x^{2}+5x+150$ $5$ $150$ $f(x)$ $x-5$ $f(x)$ $g(x)=x^{2}-7x-30$

Monotonitás és szélsőséges pontok

Mivel egy függvény lokális szélsőértékének egy pontban való létezésének szükséges feltétele a meredekség nulla értéke , ezért egy polinom függvény szélsőértékének megtalálásához meg kell oldani az egyenletet , vagyis ki kell számítani a derivált függvényének nullai. Mivel a polinomiális függvény deriváltja maga is (alacsonyabb fokú) polinomfüggvény, ugyanazokat a módszereket alkalmazzuk a potenciális szélsőpontok megtalálására, mint magának a függvénynek a nulláit. A polinom gyökeinek számára vonatkozó tulajdonságból arra a következtetésre juthatunk, hogy egy polinom fokfüggvényének elméletileg lehet lokális szélsőértéke is. Az is könnyen belátható, hogy egy polinomfüggvény bármely két nullája között szükségszerűen van legalább egy lokális szélsőség. $x_{0}$ $f'(x)=0$ $x_{0}$ $n$ $n-1$

Mivel bármely polinomfüggvény folytonos és minden pontban kétszer differenciálható , ezért egy polinom függvény lokális maximumának és lokális minimumának meglétének ellenőrzéséhez elegendő megbizonyosodni arról, hogy a talált érték (a függvény deriváltjának nulla) teljesül. az egyik elégséges kritérium. $f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

A második derivált kritériuma:

Ha és , akkor egy helyi maximumpont. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})<0$ $x_{0}$
Ha és , akkor egy helyi minimumpont. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})>0$ $x_{0}$
Ha és , akkor a pontról nem vonható le következtetés. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})=0$ $x_{0}$

Az első derivált kritériuma:

Ha és a ponton való áthaladáskor "plusz"-ról "mínuszra" változtatja az előjelet , akkor ez egy helyi maximumpont. $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Ha és a ponton való áthaladáskor "mínusz"-ról "plusz"-ra változtatja az előjelet , akkor ez egy helyi minimumpont. $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Ha és nem változtat előjelet a ponton való áthaladáskor , akkor ez nem a helyi minimum pontja (" nyeregpont "). $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Konvexitás és inflexiós pontok

Egy függvény inflexiós pontjának egy pontban (vagyis abban a pontban, ahol a függvény grafikonjának konvexitása megváltozik) létezésének szükséges feltétele a második derivált nulla értéke. Így egy polinom függvény inflexiós pontjainak megtalálásához meg kell oldani az egyenletet . A polinom gyökeinek számára vonatkozó tulajdonságból arra következtethetünk, hogy a fokszám polinomfüggvényének legfeljebb inflexiós pontja lehet. $x_{0}$ $f''(x)=0$ $n$ $n-2$

Tekintettel a polinomiális függvény folytonosságára és többszörös differenciálhatóságára az egyes pontokban , az inflexiós pontok meglétének ellenőrzéséhez elegendő megbizonyosodni arról, hogy a talált érték (a második derivált nullája) megfelel-e az egyik elégséges kritériumnak. $f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Harmadik származékos kritérium:

Ha és , akkor a pont egy inflexiós pont. $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$
Ha és , akkor a pontról nem vonható le következtetés. $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})=0$ $x_{0}$

A második derivált kritériuma:

Ha és előjelet vált, amikor áthalad a ponton , akkor ez egy inflexiós pont. $f''(x_{0})=0$ $f''(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Ha és nem változtat előjelet a ponton való áthaladáskor , akkor ez nem inflexiós pont. $f''(x_{0})=0$ $f''(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Például egy függvény inflexiós pontjainak megtalálásához a következő számításokat kell végrehajtani: $f(x)=x^{3}+2x^{2}$

f'(x)=3x^{2}+4x,\quad f''(x)=6x+4,\quad f'''(x)=6.

Mivel és , akkor van egy inflexiós pont. $f''(x)=0$ $x=-{\frac {2}{3}}$ $f'''(-{\frac {2}{3)))=6\neq 0$ $x_{0}=-{\frac {2}{3}}$

Ugyanakkor a függvénynek nincs inflexiós pontja -ban, annak ellenére, hogy a következő feltételek teljesülnek: $g(x)=x^{4}-x$ $x_{0}=0$

g'(x)=4x^{3}-1,\quad f''(x)=12x^{2},\quad f'''(x)=24x.

Mivel , de esetén a második derivált kritériumát kell használni. Mivel a függvény csak pozitív értékeket vehet fel, nincs előjelváltozás, így a függvénynek nincs inflexiós pontja -ben . $g''(x)=0$ $x_{0}=0$ $g'''(0)=0$ ${\displaystyle g''(x)=12x^{2))$ $g(x)$ $x_{0}=0$

Grafikus kapcsolat szinguláris pontok között

Egy polinom függvény nulláinak többszörösének meghatározásához felhasználható az a tény, hogy bármely polinom függvény szorzatosan differenciálható. Tehát, ha a polinomiális függvény multiplicitásának nulla (de nem multiplicitása ) , akkor a következő feltételek teljesülnek: $x_{0}$ $k$ $k+1$ $f(x)$

f(x_{0})=0,\quad f'(x_{0})=0,\quad f''(x_{0})=0,\quad \dotsc ,\quad f^{ (k-1)}(x_{0})=0,\quad f^{(k)}(x_{0})\neq 0.

Például egy függvényre igaz: ; és . Mivel , akkor a függvény nullája . Ezután lefut: , és . Tehát a 3-as multiplicitás nullája! $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$ $f'(x)=3x^{2}-6x+3$ $f''(x)=6x-6$ $f'''(x)=6$ $f(1)=1-3+3-1=0$ $x_{0}=1$ $f(x)$ $f'(1)=3-6+3=0$ $f''(1)=6-6=0$ $f'''(1)=6\neq 0$ $x_{0}=1$

A nullák többszöröse a polinomiális függvény grafikonjából látható:

Nulla multiplicitás 1 esetén a függvény grafikonja keresztezi az x tengelyt . Ugyanakkor a függvény monotonitása a pontban nem változik , mivel a második derivált ebben a pontban nem egyenlő nullával! $x_{0}$ $x_{0}$
Ha nullának páros szorzata 2, 4, 6 stb., akkor nyilvánvaló, hogy és . Így a függvény grafikonja a pontban érinti az x tengelyt , és benne van egy szélsőség . A függvény monotonitása megváltozik. $x_{0}$ $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$ $x_{0}$
Ha a nullának páratlan szorzata 3, 5, 7 stb., akkor a , és figyelembevételével a függvény grafikonjának lesz egy inflexiós pontja („ nyeregpont ”). Az in függvény monotonitása nem változik. $x_{0}$ $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$ $x_{0}$

Irodalom

Shneider V. E. et al. Teljes és tört-racionális függvények // Rövid kurzus a felsőbb matematikából. - M . : "Felsőiskola", 1972. - S. 27-28. — 640 p.

Gelfand I.M., Glagoleva E.G., Shnol E.E. Polinomok // Függvények és gráfok (alapvető technikák). — M .: MTSNMO , 2006. — 120 p. — ISBN 5-94057-131-X .

Lothar papula. Ganzrationale Funktionen // Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: [ német. ] . - Wiesbaden : Vieweg + Teubner, 2009. - T. 1. - S. 190-212. — ISBN 978-3-8348-0545-4 .

Bucher István. Ganzrationale Funktionen höheren Grades // Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker: [ német. ] . - München: Cal Hanser Verlag, 2016. - P. 106-114. - ISBN 978-3-446-44244-3 .

Linkek

Hatványfüggvény derivált // math24.ru