Inflexiós pont

Az inflexiós  pont a síkgörbe azon pontja, ahol az orientált görbülete előjelet vált. Ha a görbe egy függvény gráfja, akkor ezen a ponton a függvény konvex része elválik a konkávtól (azaz a függvény második deriváltja előjelet vált).

Definíciók

A szabályos görbe (egyszerű) inflexiós pontja a görbe olyan pontja, ahol a görbe érintője másodrendű érintkezésbe kerül vele, és felosztja a görbét , vagyis a görbe azon pontjait, amelyek a görbe valamelyik szomszédságában helyezkednek el. ennek a pontnak a másik oldalain lévő adott pont az érintőtől eltérő oldalakon is fekszik [1] [2] . Ha a görbe 2-szabályos, akkor a feltétel helyébe a következő lép: a görbe orientált görbülete egy inflexiós ponton áthaladva előjelet vált. A görbe legmagasabb (elfajult) inflexiójának pontja a pontja, a vele érintkező görbe érintője, amelynek sorrendje nem kisebb, mint három, és az érintő a görbét felhasítja [1] .

Az orientált görbület előjelének megváltoztatásának feltétele nem egyenértékű a görbe homorú és konvex részekre osztásával. Így csúcspont esetén a görbének nem lehet érintője. Ennek kiküszöbölésére a fenti definíciók megkövetelik a görbe szabályosságát. Érdekesebb eset a when függvény , amely a 0 pontban érinti az x tengelyt és metszi azt, de végtelen sokszor nullához közeli előjelet vált; itt is van egy második folytonos derivált [3] . Az ilyen esetek kizárásához szükséges, hogy a függvénynek legyen izolált szélsőértéke (lásd alább).

A görbe egy pontját egyenesedési pontnak nevezzük , ha a görbe görbülete abban a pontban nulla [4] . Néha egy görbe egyengetési pontját, amely nem inflexiós pontja ennek a görbének, parabolikus egyenesítési pontnak nevezik [1] .

Egy differenciálható függvénynek akkor és csak akkor van inflexiós pontja ( x , f ( x )), ha az első deriváltja , az f′ , rendelkezik x - ben izolált szélsőértékkel (ez nem azonos azzal, hogy f -nek ebben a pontban van szélsője). Ez azt jelenti, hogy az x pont valamelyik szomszédságában csak egy olyan pont van, ahol f′- nak van (lokális) minimuma vagy maximuma. Ha az f′ függvény minden szélsőértéke izolált , akkor az inflexiós pont az f grafikonjának az a pontja, ahol az érintő metszi a görbét [5] [6] .

A szabályos görbe legmagasabb (elfajult) csúcsa az a pontja, ahol az oszkuláló kör érinti, ennek a sorrendje magasabb, mint a harmadik [1] .

A növekvő inflexiós pont  olyan inflexiós pont, ahol a deriváltnak van lokális minimuma, a csökkenő inflexiós pont pedig olyan inflexiós pont, ahol a deriváltnak van lokális maximuma.

Algebrai görbe esetén a nem szinguláris pont akkor és csak akkor inflexiós pont, ha a görbével való érintő metszéspontjának többszöröse páratlan és kettőnél nagyobb [7] .

Tulajdonságok

Az inflexiós pontot két tulajdonság jellemzi:

Ha a görbe egy differenciálható függvény grafikonjaként van definiálva , akkor az inflexiós pont a szélső pontja .

Szükséges és elégséges feltételek

Ha x az f inflexiós pontja , akkor a második derivált, az f″ ( x ), nulla, ha létezik, de ez a feltétel nem elegendő . Szükséges, hogy a nullától eltérő derivált legkisebb sorrendje (a második felett) páratlan legyen (harmadik, ötödik stb. derivált). Ha a nullától eltérő derivált legkisebb sorrendje páros, akkor a pont nem inflexiós pont, hanem parabolikus egyenesítési pont [8] . Az algebrai geometriában azonban mind az inflexiós pontokat, mind a kiegyenlítési pontokat általában inflexiós pontoknak nevezik .

A definíció feltételezi, hogy f -nek van egy nem nulla magasabb rendű deriváltja x -hez képest , amely nem feltétlenül létezik. De ha létezik, akkor a definícióból az következik, hogy f′ ( x ) előjele állandó x mindkét oldalán x szomszédságában .

Az inflexiós pont elégséges feltétele:

1) Az inflexiós pont elégséges feltétele:

Ha f ( x ) k -szor folytonosan differenciálható az x pont valamelyik környezetében , ahol k páratlan és k ≥ 3, f (n) ( x 0 )=0 n = 2,…, k  - 1 és f ( k) ( x 0 ) ≠ 0, akkor x 0 f ( x ) inflexiós pontja .

2) Egy másik elégséges feltétel megköveteli, hogy az x pont szomszédságában különböző előjelek legyenek , feltéve, hogy ezen a ponton van érintő [2] .

Az inflexiós pontok osztályozása

Az inflexiós pontokat az f′ ( x ) derivált szerint osztályozhatjuk .

Nyeregpontra példa az y = x 3 gráf (0,0) pontja . Az érintő az x tengely , és ezen a ponton osztja fel a grafikont.

A nem stacionárius inflexiós pontok az y \ u003d x 3 függvény grafikonjával demonstrálhatók, ha az origóhoz képest kissé el van forgatva. Az origó érintője továbbra is két részre osztja a gráfot, de a gradiens nem nulla.

Funkciók törésekkel

Egyes függvények egy ponton megváltoztatják a konvexitást/konkávitást, de ezen a ponton nincs inflexiós pontjuk. Ehelyett megváltoztathatják a görbületet a függőleges aszimptota átmeneténél vagy a folytonossági pontnál. Vegyük például a 2 x 2 /( x 2  - 1) függvényt. Konvex a | x | > 1 és homorú a | x | < 1. Ennek a függvénynek azonban nincs inflexiós pontja, mivel 1 és −1 nem tartozik a függvény tartományába.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 3 4 Shikin, 1997 , p. 39.
  2. ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005 , p. 231.
  3. ↑ Fikhtengolts, 2001 , p. 305.
  4. ↑ Shikin, 1997 , p. 27.
  5. ↑ Fikhtengolts, 2001 , p. 294-305.
  6. ↑ Kudrjavcev, 1981 , p. 190-195.
  7. ↑ Inflexiós pont . encyclopediaofmath.org .
  8. ↑ Rasevszkij, 1950 , p. 18-19.

Irodalom

Linkek