Kritikus pont (matematika)

A differenciálható függvény kritikus pontja az a pont, ahol a differenciále eltűnik. Ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy egy adott pontban minden elsőrendű parciális derivált eltűnik, geometriailag azt jelenti, hogy a függvény grafikonjának érintő hipersíkja vízszintes. A legegyszerűbb esetben, n = 1, ez azt jelenti, hogy a derivált ezen a ponton egyenlő nullával. Ez a feltétel szükséges (de nem elégséges) ahhoz, hogy a régió belső pontja egy differenciálható függvény lokális minimumának vagy maximumának pontja legyen [1] . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $f'$

A kritikus pont fogalma általánosítható a differenciálható leképezések esetére, illetve tetszőleges sokaságok differenciálható leképezéseinek esetére . Ebben az esetben a kritikus pont definíciója az, hogy a benne lévő leképezés Jacobi-mátrixának rangja kisebb, mint a maximálisan egyenlő érték . $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R} ^{m}$ $f:N^{n}\To M^{m}$ $f$ $\perc\{n,m\}$

A függvények és leképezések kritikus pontjai fontos szerepet játszanak a matematika olyan területein, mint a differenciálegyenletek , a variációszámítás , a stabilitáselmélet , valamint a mechanika és a fizika. A sima leképezések kritikus pontjainak vizsgálata a katasztrófaelmélet egyik fő kérdése . A kritikus pont fogalmát a végtelen dimenziós függvénytereken definiált funkcionálisok esetére is általánosítják . Az ilyen funkcionálisok kritikus pontjainak megtalálása fontos része a variációszámításnak . A funkcionálisok kritikus pontjait (amelyek viszont függvények) extremálisoknak nevezzük .

Formális definíció

A folytonosan differenciálható leképezés kritikus (vagy szinguláris vagy stacionárius ) pontja az a pont , ahol ennek a leképezésnek a differenciálja a megfelelő érintőterek degenerált lineáris transzformációja , vagyis a transzformáció képének dimenziója kisebb [ 2] . Koordinátajelölésben ez azt jelenti, hogy a leképezés Jacobi - mátrixának determinánsa , amely az összes parciális deriváltból áll , egy pontban eltűnik [ 2] . Ebben a definícióban a terek helyettesíthetők azonos méretű elosztókkal is . $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R} ^{m}$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x))$ $T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m))$ $f_{*}(x_{0})$ $\perc\{n,m\}$ $n=m$ $f$ ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $N^{n}$ $M^{m}$

Sard tétele

A leképezés kritikus ponton lévő értékét kritikus értéknek nevezzük . Sard tétele [3] szerint bármely kellően sima leképezés kritikus értékeinek halmaza nulla Lebesgue-mértékkel rendelkezik (bár annyi kritikus pont lehet, amennyit csak akar, például egy azonosan állandó leképezésnél bármelyik pont kritikus ). $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R} ^{m}$

Állandó rangleképezések

Ha egy pont szomszédságában egy folytonosan differenciálható leképezés rangja azonos számmal , akkor ennek a pontnak a szomszédságában vannak lokális koordináták , amelyek középpontja -ban, a képének - a pontnak - szomszédságában pedig lokális. pontban lévő középpontú koordináták , így bennük a leképezést a [4] [5] relációk adják : $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $r$ $x_{0}$ $(x_{1},\lpontok,x_{n})$ $x_{0}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $(y_{1},\ldots ,y_{m})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{{r+1}}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.$

Különösen, ha , akkor vannak helyi koordináták középponttal at és helyi koordináták középpontjával at , így a leképezés azonos bennük. $r=n=m$ $(x_{1},\lpontok,x_{n})$ $x_{0}$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y_0$ $f$

Eset m = 1

Abban az esetben, ha ez a definíció azt jelenti, hogy a gradiens egy adott pontban eltűnik. $m=1$ $\nabla f=(f'_{{x_{1}}},\ldots ,f'_{{x_{n}}})$

Tegyük fel, hogy a függvény simasági osztálya legalább . Egy f függvény kritikus pontját nem degeneráltnak nevezzük, ha a Hess - féle nem nulla. Egy nem degenerált kritikus pont szomszédságában vannak olyan koordináták, amelyekben az f függvénynek másodfokú normális alakja van ( Morse-lemmája ) [6] . $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R}$ $C^{3}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$

A Morse-lemmának a degenerált kritikus pontokra vonatkozó természetes általánosítása a Toujron-tétel: egy f függvény egy degenerált kritikus pontjának közelében, amely végtelen számú ( ) véges multiplicitással differenciálható , létezik egy koordináta-rendszer, amelyben a a sima függvény fokszámú polinom alakú ( a függvény Taylor-polinomját az eredeti koordináták pontjában vehetjük ) [7] [8] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$

Számára a függvény maximumára és minimumára vonatkozó kérdésnek van értelme. A matematikai elemzés jól ismert állítása szerint a teljes térben vagy annak nyitott részhalmazában definiált, folyamatosan differenciálható függvény csak a kritikus pontokon érhet el egy lokális maximumot (minimumot), és ha a pont nem degenerált, akkor a mátrix. benne negatívan (pozitívan) határozottnak kell lennie . Ez utóbbi elégséges feltétele egy lokális maximumnak (illetve minimumnak) is [1] . $m=1$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigl )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f} {\partial x_{i}\partial x_{j))}{\Bigr )},$ $i,j=1,\lpontok ,n,$

n = m = 2 eset

Az n=m=2 esetben van egy sík f leképezése egy síkra (vagy egy 2-sokaság egy másik 2-sokaságra). Tegyük fel, hogy az f leképezés végtelen sokszor differenciálható ( ). Ebben az esetben f tipikus kritikus pontjai azok, ahol a Jacobi-mátrix determinánsa nulla, de rangja 1, ezért az ilyen pontokban lévő f differenciája egydimenziós maggal rendelkezik . A tipikusság második feltétele, hogy az előképsíkon a vizsgált pont szomszédságában a kritikus pontok halmaza szabályos S görbét alkot, és az S görbe szinte minden pontján a kernel nem érinti S -t , ill. azok a pontok, ahol nem ez a helyzet, el vannak különítve, és bennük az érintésnek van az első rendje. Az első típusú kritikus pontokat hajtási pontoknak , a második típust pedig csúcspontoknak nevezzük . A hajtások és a hajtások a sík-sík leképezések egyetlen olyan szingularitási típusai, amelyek kis perturbáció esetén stabilak: kis perturbáció esetén a hajtások és hajtások pontjai csak kis mértékben mozdulnak el az S görbe deformációjával együtt , de nem ne tűnjön el, ne fajuljon el, és ne morzsoljon össze más szingularitásokká. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\ker \,f_{*}$ $\ker \,f_{*}$

Whitney tétele. Ha egy hajtási pont vagy egy csúcspont, akkor a szomszédságainak vannak lokális koordinátái középponttal -ban, a képének szomszédságában pedig olyan lokális koordinátákkal , amelyek középpontja -ban van , így ezekben a leképezést a kapcsolatok adják. $x_{0}$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{0}$ $y_0$ $(y_{1},y_{2})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (hajtogatás),

$y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (összeszerelés).

Ezt a tételt Hassler Whitney 1955- ben bizonyította [9] , és a katasztrófaelmélet egyik első eredménye lett [10] . Ennek a tételnek a bizonyításának modern változatát, amely a differenciálható leképezések szingularitásainak elméletében későbbi eredmények alkalmazásán alapul, például a [11] tartalmazza .

Whitney tétele azt mutatja, hogy a hajtogatás és a gyûjtés úgy valósul meg, mint egy sima felület, az egyenlettel adott térben , egy tengely (az ábrán függõleges tengely ) mentén egy síkra (az ábrán vízszintes síkra) vetítve . A Whitney-tétel normál koordinátáiban a hajtás és a hajtás függvénye . A kritikus pontok halmaza ( S görbe az F = 0 felületen ) pirossal, a képsíkon lévő képe bíborvörös színnel látható. Összeszerelés esetén az S görbe képének van egy olyan tulajdonsága, amelyet csúcsnak (vagy csúcsnak) neveznek. $(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $F(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $(x_{2},y_{1})$ $x_{1}$ $F=x_{1}^{2}-y_{1}$ ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1))$

Lásd még

Irodalom

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, – Bármelyik kiadás.
Zorich V. A. Matematikai elemzés, - Bármelyik kiadás.
Brecker T., Lander L. Differenciálható baktériumok és katasztrófák, - Bármelyik kiadás.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Sima függvények, formális sorozatok és Whitney-tételek . Mat. szerk., 2016, 3(79), 49–65.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Sima függvények, formális sorozatok és Whitney-tételek (végleges) . Mat. arr., 2017, 3(83), 13–27.

Jegyzetek

↑ 1 2 Zorich V. A. Matematikai elemzés, 1. kötet - Bármelyik kiadás, ch. VIII.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematikai elemzés, 1. kötet - Bármelyik kiadás, ch. VIII, par. négy.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, 2. bekezdés.
↑ Zorich V. A. Matematikai elemzés, 1. kötet – Bármelyik kiadás, ch. VIII, par. 6 (rangtétel).
↑ Brecker T., Lander L. Megkülönbözhető baktériumok és katasztrófák, - Bármelyik kiadás.
↑ Zorich V. A. Matematikai elemzés, 1. kötet – Bármelyik kiadás, ch. VIII, par. 6.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai.
↑ A. M. Samoilenko, Egy sima függvény ekvivalenciájáról egy Taylor-polinomnál egy véges típusú kritikus pont szomszédságában, Funkts. elemzés és alkalmazásai, 2:4 (1968), 63-69.
↑ Whitney H. Az euklideszi terek leképezésének szingularitásairól. I. A sík leképezései a síkra. Annals of Mathematics, második sorozat, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, 1. bekezdés.
↑ N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Sima függvények, formális sorozatok és Whitney-tételek (végleges) . Matematikai oktatás , 2017, 3(83), 13–27.