Sard tétele

Sard tétele a matematikai elemzés egyik tétele , amelynek fontos alkalmazásai vannak a differenciálgeometriában és a topológiában , a katasztrófaelméletben és a dinamikus rendszerek elméletében . [egy]

Nevét Arthur Sard amerikai matematikusról kapta . [2] Egyes forrásokban Bertini-Sard tételnek nevezik , [3] és néha Anthony Morse (ő egy korábbi konkrét eredményt ért el) [4] és Shlomo Sternberg (egy későbbi, de általánosabb eredmény ) nevéhez is kötik. ) [5] .

Megfogalmazás

Legyen nyílt halmaz a térben , és legyen az osztály sima függvénye _ _ _ _ _ _ _ $U$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n))$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $S\alhalmaz U$ $f.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Jegyzetek

Ahogy H. Whitney megmutatta , a simaság mértéke itt nem csökkenthető a és a [6] [7] kombinációjával. $k$ $m$ $n.$

Példa

Tekintsünk egy azonosan állandó függvényt . Definíciós tartományának minden pontja kritikus, ezért A kritikus értékek halmaza egyetlen pontból áll, és ezért nulla Lebesgue-mértékkel rendelkezik. $f\equiv f_{0}.$ $U$ $S=U.$ $f(S)$ $f_0$

Változatok és általánosítások

Sarda Lemma

A -sima függvény kritikus értékeinek halmazának mértéke nulla. $C^1$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1))$

Bizonyíték . Az általánosság elvesztése nélkül egy szegmenst fogunk figyelembe venni .. Válasszunk ki egy számot , és a szegmenst egyenlő részekre osztjuk úgy, hogy a derivált ingadozása ne haladja meg egyiken sem. a lemmából a függvény folytonos a ezért,szakaszon egyenletesen folytonos rajta, azaz $[a,b]=[0,1].$ $\varepsilon >0$ $[0,1]$ $n$ $f'$ $\varepsilon.$ $f'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepszilon .$

Jelölje azokkal a szegmensekkel (a fent elkészített partíció részei), amelyek a függvény legalább egy kritikus pontját tartalmazzák , vagyis nyilvánvaló, hogy az ilyen szegmensekre a becslés minden , tehát ( Véges növekmény képlete ) bármelyik kettőre érvényes rámutat az egyenlőtlenségre $\Delta _{i}$ $f,$ $\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ ${\displaystyle x\in \Delta _{i))$ $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepszilon /n.$

Ha minden halmazt lefedünk egy hosszúságintervallumtal, akkor az összes kritikus érték halmazának lefedését kapjuk olyan intervallumokkal, amelyek hosszának összege nem haladja meg a -t. Ez a számválasztás önkényessége miatt azt jelenti, hogy a kritikus értékek halmazának mértéke nulla. $f(\Delta _{i})$ $2{\cdot }\varepsilon /n,$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Dubovitsky tétele

Legyen és két pozitív dimenziójú sima sokaság és és legyen sima függvénye annak az osztálynak , ahol egy pontot szabálytalannak nevezünk, ha a benne lévő függvény Jacobi-mátrixának rangja kisebb, mint a Pont akkor nevezzük szabálytalannak , ha legalább egy szabálytalan pontra . Ebben az esetben a szabálytalan pont fogalma egybeesik egy függvény kritikus pontjának fogalmával. Ebben az esetben az elosztó minden pontja szabálytalan. $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ $f:M^{m}\to N^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f$ $n.$ ${\displaystyle y\in N^{n))$ $y=f(x)$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $m\geqslant n$ $m<n$ $M^{m}$

Ha egy szám , akkor a sokaság szabálytalan leképezési pontjainak halmaza az első Baer-kategóriával rendelkezik , vagyis ez olyan kompakt halmazok véges vagy megszámlálható uniója, amelyek sehol sem sűrűek. $k\geqslant m-n+1,$ $f$ $N^{n}$ $N^{n}.$

Ezt a tételt A. Ya. Dubovitsky szovjet matematikus bizonyította [8] [9] [10] .

Egyéb analógok

A Sard-tétel végtelen dimenziós analógját (a Banach-terek sokaságára) Stephen Smale szerezte meg [11] . A Hölder- és Sobolev-terek leképezésére szolgáló analógokat [12] -ben kaptunk . A csökkentett simaság függvényeinek analógját a [13] -ban találtuk .

Irodalom

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, – Bármelyik kiadás.
Zorich V. A. Matematikai elemzés, - Bármelyik kiadás.
Milnor J., Wallace A. Differenciál topológia (kezdő tanfolyam), - Bármelyik kiadás.
Hirsch M. Differenciál topológia, - Bármilyen kiadás.
Spivak M. Matematikai elemzés sokaságon, - M .: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria. Módszerek és alkalmazások, - Bármilyen kiadás.
Sard A. A differenciálható térképek kritikus értékeinek mértéke, Bull. amer. Math. Soc. 48 (1942), pp. 883-890.
Sternberg S. Előadások a differenciálgeometriáról, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Smooth sokaságok és alkalmazása a homotópia elméletben. — M.: Nauka, 1985. — 176 p.

Jegyzetek

↑ Arnold V. I. A közönséges differenciálegyenletek elméletének további fejezetei, 10. bekezdés.
↑ Sard A. A differenciálható térképek kritikus értékeinek mértéke, - Bull. amer. Math. Soc. 48 (1942), pp. 883-890. . Letöltve: 2010. május 7. Az eredetiből archiválva : 2012. október 12.. (határozatlan)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, 2. bekezdés.
↑ Morse AP Egy függvény viselkedése a kritikus halmazán. – Annals of Mathematics, vol. 40, 1. szám (1939), pp. 62-70.
↑ Sternberg S. Előadások a differenciálgeometriáról.
↑ Zorich V. A. Matematikai elemzés, II. kötet, XI. fejezet, 5. bekezdés.
↑ Whitney H. Egy függvény nem állandó a kritikus pontok összekapcsolt halmazán, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya. Egy n - dimenziós kocka k -dimenziós kockává történő differenciálható leképezéséről . Mat. Sb., 1953, 32(74):2, p. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya. Egy n - dimenziós kocka k - dimenziós kockává differenciálható leképezésének szinthalmazainak szerkezetéről. Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat., 1957, 21:3, p. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Sima sokaságok és alkalmazásaik a homotópiaelméletben, - Bármelyik kiadás.
↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem, - American Journal of Mathematics, vol. 87, No. 4 (1965), pp. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard tétele Holder és Sobolev terekben történő leképezésekhez, - Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383-397.
↑ Korobkov M. V. Sard két változó sima függvényeire vonatkozó tételének analógjáról - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, p . 1083-1091. $C^1$