Dinamikus rendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A dinamikus rendszer olyan elemek halmaza , amelyeknél a rendszer minden elemének fázisterében meghatározott idő és helyzet közötti funkcionális kapcsolat . Ez a matematikai absztrakció lehetővé teszi a rendszerek időbeni fejlődésének tanulmányozását és leírását.

Egy dinamikus rendszer állapotát az idő bármely pillanatában az állapottér egy bizonyos pontjának megfelelő valós számok (vagy vektorok) halmaza írja le . Egy dinamikus rendszer evolúcióját egy determinisztikus függvény határozza meg, vagyis egy adott időintervallum elteltével a rendszer az aktuális állapottól függően meghatározott állapotba kerül.

Bevezetés

A dinamikus rendszer valamilyen objektum, folyamat vagy jelenség matematikai modellje , amelyben a "fluktuációkat és minden más statisztikai jelenséget" figyelmen kívül hagynak. [egy]

A dinamikus rendszer állapottartó rendszerként is ábrázolható . Ezzel a megközelítéssel a dinamikus rendszer (mint egész) írja le valamely folyamat dinamikáját, nevezetesen: a rendszer egyik állapotból a másikba való átmenet folyamatát. Egy rendszer fázistere a dinamikus rendszer összes megengedett állapotának összessége. Így egy dinamikus rendszert a kiindulási állapota és az a törvény, amellyel a rendszer a kiindulási állapotból a másikba lép át.

Megkülönböztetni a diszkrét idejű és a folyamatos idejű rendszereket.

A hagyományosan kaszkádoknak nevezett diszkrét idejű rendszerekben a rendszer viselkedését (vagy ezzel egyenértékűen a rendszer pályáját a fázistérben) állapotok sorozata írja le. A folytonos idejű rendszerekben, amelyeket hagyományosan áramlásoknak neveznek , a rendszer állapotát a valós vagy összetett tengely minden egyes időpontjára meghatározzák. A kaszkádok és az áramlások a szimbolikus és topológiai dinamika fő szempontjai.

Egy dinamikus rendszert (diszkrét és folytonos idővel egyaránt) gyakran egy autonóm differenciálegyenlet -rendszer ír le, amely valamilyen tartományban adott, és ott kielégíti a létezési tétel feltételeit és a differenciálegyenlet megoldásának egyediségét. A dinamikus rendszer egyensúlyi helyzetei a differenciálegyenlet szinguláris pontjainak, a zárt fázisgörbék pedig a periodikus megoldásainak felelnek meg.

A dinamikus rendszerek elméletének fő tartalma a differenciálegyenletek által meghatározott görbék vizsgálata . Ez magában foglalja a fázistér pályákra bontását és e pályák korlátozó viselkedésének tanulmányozását: az egyensúlyi helyzetek keresését és osztályozását, a vonzás ( attraktorok ) és taszító ( repellerek ) halmazok (sokaságok) kiválasztását. A dinamikus rendszerek elméletének legfontosabb fogalmai az egyensúlyi állapotok stabilitása (azaz a rendszer azon képessége, hogy a kezdeti feltételek kis változásai mellett tetszőlegesen hosszú ideig az egyensúlyi helyzet közelében vagy egy adott sokaságon maradjon) és érdesség (azaz a tulajdonságok megőrzése kis változtatásokkal magában a matematikai modellben; „ Durva rendszer az, amelynek a mozgás minőségi jellege nem változik a paraméterek kellően kis változásával. [2] [1]

A valószínűségi-statisztikai reprezentációk bevonása a dinamikus rendszerek ergodikus elméletébe egy invariáns mértékkel rendelkező dinamikus rendszer koncepciójához vezet .

A dinamikus rendszerek modern elmélete olyan tanulmányok gyűjtőneve, ahol a matematika különböző ágainak módszereit széles körben alkalmazzák és hatékonyan kombinálják: topológia és algebra, algebrai geometria és mértékelmélet, differenciálalakok elmélete, szingularitások és katasztrófák elmélete.

A dinamikus rendszerek elméletének módszerei a természettudomány más ágaiban is keresettek, mint például a nem egyensúlyi termodinamika , a dinamikus káoszelmélet , a szinergetika .

Definíció

Legyen tetszőleges sima sokaság . $x$

Egy sima sokaságon definiált dinamikus rendszer egy parametrikus formában írt leképezés , ahol , amely egy differenciálható leképezés, és a tér azonos leképezése . Stacionárius reverzibilis rendszerek esetén az egyparaméteres család a topológiai tér transzformációinak csoportját alkotja , ami azt jelenti, hogy az azonosság mindenre érvényes . $x$ $g\colon \mathbb {R} \times X\to X$ $g^{{t}}(x)$ $t\in \mathbb {R} ,x\in X$ $g^{0}$ $x$ ${\displaystyle \{g^{t}:t\in \mathbb {R} \))$ $x$ $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$ $g^{{t_{1}}}\circ g^{{t_{2}}}=g^{{t_{1}+t_{2}}}$

A leképezés differenciálhatóságából következik, hogy a függvény az idő differenciálható függvénye, grafikonja a kiterjesztett fázistérben helyezkedik el, és a dinamikus rendszer integrálpályájának (görbéjének) nevezzük . A térre való vetületét , amelyet fázistérnek nevezünk , egy dinamikus rendszer fázispályájának (görbéjének) nevezzük. $g$ $g^{{t}}(x_{0})$ $\mathbb {R} \times X$ $x$

Egy stacionárius dinamikus rendszer megadása egyenértékű a fázistér fázispályákra való felosztásával. Egy dinamikus rendszer megadása általában egyenértékű a kiterjesztett fázistér integrált trajektóriákra történő particionálásával.

A koordináták változása a fázisterek diffeomorfizmusa (ha a szerkezet sima) vagy homeomorfizmusa (topológiai szempontból). Lehetőség van egy ekvivalenciakészlet meghatározására a különböző koordinátaosztályokhoz társított dinamikus rendszerek között. A pályák szerkezetének problémája ebben az esetben felfogható a dinamikus rendszerek osztályozásának problémájaként egészen az ekvivalencia relációkig.

Dinamikus rendszerek meghatározásának módszerei

Egy dinamikus rendszer meghatározásához le kell írni a fázisterét , az időpontok halmazát, és néhány szabályt , amely leírja a pontok mozgását a fázistérben az időben. Az időpillanatok halmaza lehet egy valós sor intervalluma (akkor azt mondja, hogy az idő folytonos ), vagy egész számok vagy természetes számok halmaza ( diszkrét idő). A második esetben egy fázistérpont „mozgása” inkább pillanatnyi „ugrások” egyik pontból a másikba: egy ilyen rendszer pályája nem sima görbe, hanem egyszerűen pontok halmaza, és általában ún. egy pálya . Ennek ellenére a külső különbség ellenére szoros kapcsolat van a folytonos és diszkrét idejű rendszerek között: számos tulajdonság közös ezekben a rendszerosztályokban, vagy könnyen átvihető egyikből a másikba. $x$ $T$ $T$

Fázisfolyamok

Legyen a fázistér többdimenziós tér vagy benne egy régió, az idő pedig folytonos. Tegyük fel, hogy ismerjük azt a sebességet, amellyel a fázistér egyes pontjai mozognak. Más szavakkal, a sebességvektor-függvény ismert . Ekkor a pont pályája az autonóm differenciálegyenlet megoldása lesz a kezdeti feltétellel . Az így definiált dinamikus rendszert egy autonóm differenciálegyenlet fázisáramának nevezzük. $x$ $x$ $v(x)$ $x_{0}\X-ben$ ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ $x(0)=x_{0}$

Cascades

Legyen tetszőleges halmaz, és a halmaz valamilyen leképezése önmagára. Tekintsük ennek a leképezésnek az iterációit , vagyis a fázistér pontjaira történő ismételt alkalmazásának eredményeit. Dinamikus rendszert határoznak meg fázistérrel és sok időpillanattal . Valójában azt feltételezzük, hogy egy tetszőleges pont átmegy egy időpontba . Aztán idővel ez a pont egy pontba kerül , és így tovább. $x$ $f\kettőspont X\X-re$ $x$ $x$ $T={\mathbb N}$ $x_{0}\X-ben$ $egy$ $x_{1}=f(x_{0})\X-ben$ $2$ $x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))$

Ha a leképezés reverzibilis, akkor lehet definiálni fordított iterációkat : , stb. Így kapunk egy rendszert egy időpontkészlettel . $f$ $x_{{-1}}=f^{{-1}}(x_{0})$ $x_{{-2}}=f^{{-1}}(f^{{-1}}(x_{0}))$ $T={\mathbb Z}$

Példák

Differenciálegyenletrendszer

{\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cases}}

egy folyamatos idejű dinamikus rendszert határoz meg, amelyet "harmonikus oszcillátornak" neveznek. Ennek fázistere a sík , ahol a pontsebesség . A harmonikus oszcillátor különféle oszcillációs folyamatokat modellez, például a rugó terhelésének viselkedését. Fázisgörbéi ellipszisek, amelyek középpontja nulla. $(x, v)$ $v$ $x$

Legyen egy szög, amely meghatározza egy pont helyzetét az egységkörön. A duplázó leképezés egy diszkrét idejű dinamikus rendszert határoz meg, amelynek fázistere egy kör. $\varphi$ $f(\varphi )=2\varphi {\pmod {2\pi }}$
A gyors-lassú rendszerek olyan folyamatokat írnak le, amelyek egyszerre több időskálán fejlődnek.
Azokat a dinamikus rendszereket, amelyek egyenletei a legkevesebb művelet elvén kaphatók meg egy kényelmesen kiválasztott Lagrange -rendszerre, „Lagrange-dinamikus rendszereknek” nevezzük.

A dinamikus rendszerek elméletének kérdései

Mivel egy dinamikus rendszer valamilyen feladata van, távolról sem mindig lehetséges a pályáit explicit formában megtalálni és leírni. Ezért a rendszer általános viselkedésével kapcsolatos egyszerűbb (de nem kevésbé értelmes) kérdéseket általában megfontolják. Például:

A rendszernek vannak-e zárt fázisgörbéi, vagyis az evolúció során vissza tud-e térni kiinduló állapotába?
Hogyan vannak elrendezve a rendszer invariáns sokasága (melyek speciális esete zárt pályák)?
Hogyan működik a rendszer attraktorja , vagyis a fázistér halmaza, amelyre a pályák „többsége” hajlik?
Hogyan viselkednek a közeli pontokból kilőtt pályák – közel maradnak, vagy idővel jelentős távolságra távolodnak el?
Mit mondhatunk egy bizonyos osztályból származó "tipikus" dinamikus rendszer viselkedéséről?
Mit mondhatunk az adotthoz "közeli" dinamikus rendszerek viselkedéséről?

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Andronov, 1981 , p. 18-19.
↑ Andronov, 1955 , p. 3-19.

Irodalom

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Az oszcillációk elmélete. - 2. kiadás, átdolgozva. és javítva - M . : Nauka, 1981. - 918 p.
Alekszandr Alekszandrovics Andronov emlékére . - M . : A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1955.
Malineckij G. G. , Potapov A. B. , Podlazov A. V. Nemlineáris dinamika: megközelítések, eredmények, remények . — M .: URSS, 2006.
szerk. Anosov DV Smooth dinamikus rendszerek. — M .: Mir, 1977. — 256 p.
Evlanov LG Dinamikus rendszerek vezérlése. - M. : Nauka, 1972. - 423 p. - 4800 példány.
Birkhoff J. Dinamikus rendszerek. - M. : OGIZ, 1999. - 480 p. - 3500 példány. — ISBN 5-7029-0356-0 .

Gukenheimer J., Holmes F. Nemlineáris oszcillációk, dinamikus rendszerek és vektormezők bifurkációi - 2002. - 560 p. — ISBN 5-93972-200-8 .

Palis J., di Melu V. Dinamikus rendszerek geometriai elmélete: Bevezetés. - Mir, 1986. - 301 p.
Hat előadás a nemlineáris dinamikus rendszerek elméletéről / N.V. Karlov , N.A. Kiricsenko . MIPT, [1998?]. - 178 p. : ill.; 30 cm; ISBN 5-7417-0096-9

Linkek

Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .