Szobolev tér

A Sobolev-tér egy olyan függvénytér, amely a Lebesgue-térből ( ) származó függvényekből áll, amelyek adott sorrendű általánosított deriváltjai a -tól . $L^{p}(Q)$ $k$ $L^{p}(Q)$

A Sobolev-szóközök Banach -szóközök, a -nél pedig Hilbert-szóközök . A Sobolev Hilbert tereket is jelöli . $1\leqslant p\leqslant \infty$ $W_{p}^{k}(Q)$ $p=2$ $H^{k}(Q)=W_{2}^{k}(Q)$

A Szobolev-tereket Szergej Lvovics Szobolev szovjet matematikus vezette be, és ezt követően nevezték el róla.

Definíció

Egy tartomány esetében a Szobolev- sorrendbeli normát és a fokszámmal összegezhető normát a következő képlet vezeti be: $Q\alhalmaz R^{n}$ $W_{p}^{k}(Q)$ $k\geqslant 1$ $1\leqslant p<\infty$

\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}=\left(\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\int \limits _{Q}|D ^{\alpha }u|^{p}dx\right)^{1/p},

míg a norma így néz ki: $p=\infty$

\|u\|_{W_{\infty }^{k}(Q)}=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\mathrm {ess} \sup |D^{\ alfa }u|,

ahol a többindex , a művelet pedig a többindexre vonatkozó általánosított derivált. $\alpha$ $D^{\alpha }$

A Szobolev-teret a -normában lévő sima függvények befejezéseként határozzuk meg . $W_{p}^{k}(Q)$ $W_{p}^{k}(Q)$

Példák

A Szobolev terek lényeges különbségeket mutatnak a folyamatosan differenciálható függvények tereitől.

Példa egy nem folytonos függvényre

Legyen egy kör egy síkon. A függvény a térhez tartozik , de a pontban van egy második típusú szakadás . $Q=\{x\in R^{2}:|x|<1/2\}$ $u(x)=\ln |\ln |x||$ $H^{1}(Q)$ $x=0$

Szobolev-terek egydimenziós esetben

A térből származó funkciók folyamatosak. A térből származó bármely két függvény esetén ezeknek a függvényeknek a szorzata is a -hoz tartozik . Ezért egy elsőrendű Sobolev-tér egy szegmensen egy Banach-algebra . $H^{1}(a,b)$ $H^{1}(a,b)$ $H^{1}(a,b)$

Tulajdonságok

Bármely régió esetében az következik, hogy . $Q'\Q részhalmaz$ $f\in W_{p}^{k}(Q)$ $f\in W_{p}^{k}(Q')$
Ha és , akkor . $f\in W_{p}^{k}(Q)$ $a\in C^{k}(\overline Q)$ $af\in W_{p}^{k}(Q)$
Ha véges -ben , akkor ennek a függvénynek a nullával való folytatása bármelyikhez tartozik . $f\in W_{p}^{k}(Q)$ $K$ $W_{p}^{k}(Q')$ $Q\részhalmaz Q'$
Legyen a régió sima és egy az egyhez leképezése a és régióra , akkor a függvény a térhez tartozik . $y=y(x)$ $K$ $\Omega$ $F\in W_{p}^{k}(\Omega )$ $f(x)=F(y(x))$ $W_{p}^{k}(Q)$
A Szobolev terek elválasztható terek. $W_{p}^{k}(Q)$
Ha a régió határa kielégíti a Lipschitz-feltételt, akkor a halmaz sűrű a -ben . $K$ $C^{\infty }(\overline Q)$ $W_{p}^{k}(Q)$
Legyen , ahol van egy korlátos tartomány -ben , csillag alakú tekintetében valamilyen golyó. Ha , akkor a -ben szinte mindenhol definiált pontszerű szorzatuk a térhez tartozik , sőt létezik pozitív állandó , amely csak attól függ , hogy $u,v\in W_{p}^{k}(Q)$ $K$ $R^{n}$ $kp>n$ $UV$ $K$ $W_{p}^{k}(Q)$ $C$ $k,n,p$

\|uv\|_{{W_{p}^{k}}}\leq C\|u\|_{{W_{p}^{k}}}\|v\|_{{W_{p }^{k}}}

Más szóval, egy kommutatív Banach algebra , amelynek szorzása kompatibilis a normával .

W^{k,p}(Q)

\|u\|_{{W_{p}^{k}(Q)^{*}}}=C\|u\|_{{W_{p}^{k}(Q)}}

A helyen lévő terek reflexív terek. $W_{p}^{k}(Q)$ $1<p<\infty$
A terek Hilbert-terek. $W_{2}^{k}(Q)=H^{k}(Q)$

Tételek beágyazása

Feltételezve, hogy a tartomány határa kielégítő simasági feltételeket teljesít, a következő beágyazó tételek érvényesek. $Q\alhalmaz R^{n}$

Szobolev beágyazási tétele

Ha , akkor folyamatos beágyazás van $k+n/p<s$

W_{p}^{s}(Q)\subset C^{k}(\overline Q)

Itt azt feltételezzük, hogy egész és nem negatív, és lehet tört (törtrendű Szobolev-terek). Ez a tétel döntő szerepet játszik a függvényterek és a parciális differenciálegyenletek elméletében . $k$ $s$

Rellich-Kondrashov tétel

Legyen a tartomány korlátos, , és , akkor: a beágyazás teljesen folyamatos . $K$ $s_{1}>s_{2}$ $1<p_{1},p_{2}<\infty$ $n(1/p_{1}-1/p_{2})<s_{1}-s_{2}$ $W_{{p_{1}}}^{{s_{1}}}(Q)\subset W_{{p_{2}}}^{{s_{2}}}$

A Szobolev-terek beágyazódásainak tömörségére vonatkozó tételek segítségével számos létezési tételt bizonyítanak a parciális differenciálegyenletekre.

Történelem

A részleges differenciálegyenletek megoldásainak általánosításának gondolata az 1920-as években kezdett behatolni a matematikai fizikába. A függvényosztályok kiterjesztésének igénye egyrészt a többdimenziós variációs problémákban , másrészt a hidrodinamikai hullámegyenlet és -egyenletek tanulmányozása során merül fel. Ezekben a problémákban a folytonos függvények osztályai elégtelennek bizonyultak.

Friedrichs 1934- es munkájában [1] egy másodfokú funkcionális minimumának tanulmányozásakor olyan függvényosztályokat vezettek be, amelyek egybeesnek a Szobolev-terekkel – az elsőrendű Sobolev-terekkel, amelyeknek nulla nyoma van a tartomány határán. Azonban ezekben a munkákban (az ún. direkt variációs problémákban ) még mindig nem érthető, hogy a másodrendű Szobolev-terek a variációs problémáknak megfelelő elliptikus határérték-problémák helyességi osztálya. 1936- ban Sobolev alapvető munkája [2] bemutatja a másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek főbb típusainak (a hullámegyenlet, a Laplace-egyenlet és a hőegyenlet ) általánosított megoldásait függvényosztályokból, amelyeket később Sobolev-tereknek neveztek el. Ezekben a dolgozatokban az általánosított megoldások a klasszikus megoldások korlátai, a határértékek pedig az integrálható függvények osztályaiban szerepelnek. A megoldási fogalmak ilyen kiterjesztése lehetővé teszi a nagyon általános jobb oldali és egyenletegyütthatós problémák tanulmányozását. $H_{0}^{1}(Q)$

Az 1930-as években megkezdődött a Szobolev-terek átfogó tanulmányozása. A legfontosabbak Relich dolgozatai voltak a beágyazások tömörségéről (Rellich-Gording tétel) és a beágyazási tételekről (Szobolev és Sobolev-Kondrashov tételek). Ezek a tételek lehetővé tették a matematikai fizika számos problémájának általánosított megoldását, valamint a folytonos függvényosztályokkal való kapcsolat létrehozását.

Az 1940-es években Ladyzhenskaya -t felkérték, hogy a Szobolev-terekből származó függvények integrált azonosságainak felhasználásával határozzon meg általánosított megoldásokat. Az integrál azonosságok használata rendkívül kényelmes megközelítésnek bizonyult a parciális differenciálegyenletek megoldásai megoldhatóságának és simaságának vizsgálatára. Jelenleg az általánosított megoldások integrál identitások alapján történő meghatározása a standard problémafelállítási módszer.

A Szobolev-terek nemcsak a parciális differenciálegyenletek elméletében , hanem a variációs problémákban, a függvényelméletben , a közelítéselméletben , a numerikus módszerekben , a vezérléselméletben és az elemzés számos más ágában és alkalmazásaiban is alapvető fontosságúak.

Változatok és általánosítások

Sobolev szóközök $H_{0}^{k}(Q)$

A parciális differenciálegyenletek peremérték-problémáiban fontos szerepet játszanak a Sobolev-tér nulla peremfeltételű függvényterei. Ezeket a tereket a halmaz lezárásaiként jelöljük a tér normájához képest , ahol van egy végtelenül differenciálható függvényhalmaz , amelyek végesek . $H_{0}^{k}(Q)$ $C_{0}^{\infty }(Q)$ $H^{k}(Q)$ $C_{0}^{\infty }(Q)$ $K$

A szóközök zárt alterek a -ban . Ha van bizonyos simaság a tartomány határában , akkor ez a tér egybeesik azon függvények halmazával , amelyeknek a tartomány határán nulla nyomvonala van, és nulla nyomvonala az összes általánosított deriváltnak a -edik sorrendig. $H_{0}^{k}(Q)$ $H^{k}(Q)$ $K$ $H^{k}(Q)$ $K$ $k-1$

Szobolev szóközök a teljes térben

A Sobolev-terek a Fourier-transzformáció segítségével definiálhatók. Bármely függvény esetén a Fourier transzformáció definiálva van , és ráadásul . A Szobolev-tér meghatározása a következő: $H^{s}(R^{n})$ $f(x)\in L^{2}(R^{n})$ ${\hat {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx$ ${\hat {f}}(\omega )\in L^{2}(R^{n})$ $H^{s}(R^{n})$

H^{s}(R^{n})=\{f\in L^{2}(R^{n}):(1+|\omega |^{2})^{s/ 2}{\hat {f}}(\omega )\in L^{2}(R^{n})\}

Szobolev terek egy tóruszon

Legyen -dimenziós tórusz . _ A Sobolev-teret a tóruszon , vagyis azokat a függvényeket, amelyek minden változóban -periodikusok, többdimenziós Fourier-sorok segítségével határozhatjuk meg: $T^{n}$ $n$ $T^{n}$ $2\pi$

H^{k}(T^{n})=\{f\in L^{2}(T^{n}):\sum \limits _{{m_{1},\dots ,m_{n} =-\infty }}^{\infty }(1+m_{1}^{{2k}}+m_{2}^{{2k}}+\pontok +m_{n}^{{2k}}) |f_{{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}}|^{2}<\infty \}

Törtrendű Szobolev terek

Az összetévesztés elkerülése érdekében a nem egész k -t általában s - ként jelöljük , azaz vagy . ${\displaystyle W_{p}^{s))$ $H^{s}$

0<s<1 esetén a tér olyan függvényekből áll , hogy ${\displaystyle W_{p}^{s))$ $f\in L^{p}(Q)$ $Q\alhalmaz R^{n}$

\|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{L^{p}(Q)}^{p}+\int _{Q} {\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|xy|^{n+ps}}}dxdy\right)^{1/p}.

Nem egész s>1 esetén beállítjuk , ahol az s egész része. Ekkor olyan elemekből áll , hogy a normával $s=[s]+\sigma$ $[s]$ $W_{p}^{s}(Q)$ $W_{p}^{[s]}(Q)$ $D^{\alpha }f\in W_{p}^{\sigma }(Q)$ $|\alpha |=[s]$

\|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{W_{p}^{[s]}(Q)}^{p}+\ összeg \limits _{|\alpha |=[s]}\|D^{\alpha }f\|_{W_{p}^{\sigma }(Q)}^{p}\jobbra)^{1 /p}.

Negatív sorrendű Szobolev terek

A parciális differenciálegyenletek általánosított megoldásainak mérlegelésekor természetesen negatív sorrendű Szobolev-terek keletkeznek. A teret a következő képlet határozza meg: $H^{{-k}}(Q)$

H^{{-k}}(Q)=\bal(H_{0}^{k}(Q)\jobb)'

ahol a prím a konjugált teret jelöli. Ezzel azt kapjuk, hogy a negatív sorrendű Szobolev-terek az általánosított függvények tere. Így például a szóköz tartalmazza a Dirac függvényt . $H^{{-1}}(-1,1)$ $\delta$

Jegyzetek

↑ Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465-487.
↑ S. Soboleff, "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales", Mat. Sat., 1(43):1 (1936), 39-72

Irodalom

Sobolev S. L. A funkcionális elemzés néhány alkalmazása a matematikai fizikában, M.: Nauka, 1988
Ladyzhenskaya OA A matematikai fizika határérték-problémái. Moszkva: Nauka, 1973.
R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces . Akadémiai Kiadó.
Mikhailov VP Differenciálegyenletek parciális deriváltokban. Moszkva: Nauka, 1976