Gyenge származék

A „ gyenge derivált ” (a matematikában ) egy függvény deriváltja („erős deriváltja”) fogalmának általánosítása olyan függvényekre, amelyek Lebesgue szerint integrálhatók (vagyis térből ), de nem differenciálhatók . $L_{1}$

Definíció

Legyen függvény a . Egy függvényét "gyenge deriváltnak" nevezzük , ha $u$ $L^{1}([a,b])$ $v(t)$ $L^{1}([a,b])$ $u$

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt

az összes folyamatosan differenciálható függvényhez . Ez a meghatározás a részenkénti integráció módszerén alapul . $\varphi$ $\varphi (a)=\varphi (b)=0$

A mérésekre általánosítva , ha és a lokálisan integrálható függvények terébe tartozik valamilyen tartományra , és ha többindex , akkor gyenge deriváltjának nevezzük a sorrendet, ha $n$ $u$ $v$ $L_{loc}^{1}(U)$ $U\alhalmaz {\mathbb {R}}^{n}$ $\alpha$ $v$ $u$ $\alpha$

\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi

mindenkinek – véges a végtelenül sima függvényekben. $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ $U$

Ha egy függvénynek gyenge deriváltja van, akkor gyakran jelölik , mivel egy nulla mértékhalmazig egyedi. $u$ $D^{\alpha }u$

Példák

u függvény : [−1, 1] → [0, 1], u ( t ) = | t |, amelynek nincs deriváltja a t = 0 pontban, ennek ellenére gyenge v deriváltja van a [−1, 1] intervallumon , az úgynevezett „jelfüggvény” ( sgn ), amelyet a következő összefüggés határozza meg:

v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0; \\-1,&t<0.\end{cases}}

Nem ez az u egyetlen deriváltja : minden w függvény, amely szinte mindenhol egybeesik v -vel, egyben u gyenge deriváltja is lesz . Általában ez nem probléma, hiszen mind az Lp -terek, mind a Sobolev-terek szempontjából egyenértékűek.

A D racionális számok halmazának karakterisztikus függvénye ( a Dirichlet-függvény ) sehol nem differenciálható, de mindenhol gyenge deriváltja van. Mivel a racionális számok Lebesgue-mértéke nulla, akkor

\int D(t)\varphi (t)dt=0

Így van egy gyenge deriváltja a D függvénynek . Ennek intuitívnak kell lennie, mert D az Lp térben megegyezik az azonos nullával.

v(t)\equiv 0

Tulajdonságok

Ha két függvény ugyanannak a függvénynek gyenge deriváltja, akkor egy teljes mértékhalmazon ( majdnem mindenhol ) egybeesnek. Ha a terekben megszokott módon feltételezzük, hogy az egyenlő függvények szinte mindenhol ekvivalensek, akkor a gyenge derivált egyértelműen definiált. $L_{p}$

Ha u -nak van egy közönséges ("erős") deriváltja, akkor az gyenge derivált lesz. Ebben az értelemben a gyenge származék az erős általánosítása. Ráadásul az összegek és a függvények szorzataira vonatkozó klasszikus szabályokat a gyenge deriváltakra is megőrzik.

Fejlesztés

A gyenge származék fogalma megalapozta az ún. gyenge megoldások a Szobolev térben , amelyek hasznosnak bizonyultak a differenciálegyenletek elméletében és a funkcionális elemzésben .

Irodalom

Mikhlin S.G. Matematikai fizika tantárgy. - 2., sztereotip. - Szentpétervár. : Lan, 2002. - 576 p. — ISBN 5-8114-0468-9 .
Sobolev S.L. A funkcionális elemzés néhány alkalmazása a matematikai fizikában. — 3. kiadás, átdolgozva és kiegészítve. — M .: Nauka , 1988. — 336 p. — ISBN 5-02-013756-1 .
Ladyzhenskaya O.A. , Uraltseva N.N. Elliptikus típusú lineáris és kvázilineáris egyenletek. — M .: Nauka , 1973. — 576 p.