A korángok szorzatának képlete

A corank szorzatképlet egy matematikai képlet, amely kifejezi azon pontok halmazának kóddimenzióját , amelyeknél a leképezési derivált magja adott dimenzióval rendelkezik, mint az adott leképezés korunkjainak szorzata az előképben és a képben.

Megfogalmazás

Egy lineáris leképezés koronja az előképben (a képen) a szám (illetve ), ahol a leképezés rangja . A korángokat a kernel dimenziójához kapcsoljuk (jellel jelöljük ) a következő képletekkel: és [1] . ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $mr$ $nr$ $r$ $A$ $A$ $én$ $mr=i$ $nr=n-m+i$

Legyen a sima elosztók és a méretek sima leképezése, ill . A szimbólum a deriváltját jelöli egy pontban , vagyis az érintőterek lineáris leképezését . $f:M^{m}\to N^{n}$ $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ ${\displaystyle f_{*x))$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$

Egy pont akkor tartozik a halmazba, ha a derivált magjának dimenziója ebben a pontban . A halmazok minden bizonnyal lefedik a teljes sokaságot , azonban ebben a láncban általában nem minden halmaz nem üres (például egyenlőtlenség esetén, amiből a relációt figyelembe véve az következik , hogy , vagyis a készlet üres). ${\displaystyle x\in M^{m))$ $\Sigma ^{i},$ $i\geq 0,$ ${\displaystyle f_{*x))$ $én$ ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m))$ $M^{m}$ $n>m$ $r\leq n<m$ $mr=i$ $i>0$ $\Sigma ^{0}$

Tétel. Az általános helyzet leképezéséhez minden halmaz sima alváltozata a -ban . Ebben az esetben van kapcsolat $f:M^{m}\to N^{n}$ $\Sigma ^{i}$ $M^{m}$

m-\dim \,\Sigma ^{i}=(mr)(nr),

ahol a parafa szorzatképletnek nevezett leképezés rangja [1] . $r=mi$ $f_{*x},$

Az ezzel a képlettel számított érték negatív is lehet. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő készlet üres. ${\displaystyle \dim \Sigma ^{i))$ $\Sigma ^{i}$

Következmény. A típusmátrixok terében a rangmátrixok halmaza egy sima kóddimenziós sokaságot alkot [1] . $(m, n)$ $r$ $(mr)(nr)$

Irodalom

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, – Bármelyik kiadás.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, - Any edition.