Morse Lemma

A Morse-lemma egy olyan állítás, amely leírja egy sima vagy analitikus valós függvény viselkedését egy nem degenerált kritikus pont szomszédságában . A Morse-elmélet egyik egyszerű, de legfontosabb eredménye ; az elmélet kidolgozójáról nevezték el, és aki ezt az eredményt 1925 -ben létrehozta, Marston Morse amerikai matematikusról .

Megfogalmazás

Legyen az osztály függvénye , ahol , amelynek nem degenerált kritikus pontja egy pont, vagyis ezen a ponton a differenciál eltűnik, és a Hess -féle nullától eltérő. Ekkor a pont valamelyik szomszédságában létezik egy sima lokális koordináták (térkép) rendszere, amelynek origója a pontban van , úgy, hogy minden egyenlőségre [1] $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R}$ $C^{r+2}$ $r\geq 1$ $0\in \mathbb{R} ^{n}$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$ $U$ $0$ ${\displaystyle C^{r))$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $0$ $x\u-ban$

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\pontok -x_{k}^{2}+x_{{k+1}}^{2}+\pontok +x_{n }^{2}

Ebben az esetben a csíra másodfokú részének aláírása által meghatározott számot az adott függvény kritikus pontjának indexének nevezzük – ez a Morse-index általános fogalmának speciális esete . $k$ $f$ $0$ $0$

Változatok és általánosítások

Toujron tétele

A véges multiplicitás kritikus pontjának szomszédságában van egy koordinátarendszer, amelyben egy sima függvénynek fokszámú polinomja van ( vehetjük a függvény Taylor-polinomját az eredeti koordináták egy pontjában ). Nem degenerált kritikus pont esetén a multiplicitás , és Toujron tétele Morse-lemmává változik [1] [2] . $0$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$ $\mu=1$

Morse lemmája paraméterekkel

Legyen egy sima függvény, amelynek a koordináták origója a kritikus pontja, nem degenerált a változókban . Ezután a pont szomszédságában sima koordináták vannak, amelyekben $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb{R} ^{{n+m}}\to \mathbb{R}$ $0$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $0$

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_ {1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

hol van valami sima függvény. Ez az állítás lehetővé teszi, hogy a változók függvénye szingularitásának (kritikus pontjának) vizsgálatát egy kisebb számú változó függvényének szingularitásának vizsgálatára redukáljuk (nevezetesen a Hess-féle koronával egyenlő változók számából). az eredeti függvény) [1] . $f_0$ $n+m$

Ennek az állításnak a bizonyítása végrehajtható indukcióval n -en Hadamard-lemmája segítségével vagy más módon [1] .

A bizonyítékokról

Általában egy diffeomorfizmus közvetlen megszerkesztésével bizonyítják [3] . A fogalmibb bizonyítás Moser trükkjét használja [4] .

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai.
↑ A. M. Samoilenko, Egy sima függvény ekvivalenciájáról egy Taylor-polinomnál egy véges típusú kritikus pont szomszédságában, Funkts. elemzés és alkalmazásai, 2:4 (1968), 63-69.
↑ Milnor, J. Morse elmélet / Per. angolról. V. I. Arnold . - 1965. - 184 p.
↑ Palais, Richard S. "A Morse-lemma a Banach-terekhez." Bulletin of the American Mathematical Society, 75.5 (1969): 968-971.

Irodalom

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings. — M. : MTsNMO , 2009. — 672 p. - ISBN 978-5-94057-456-9 .

Darinsky B. M., Sapronov Yu .

Zorich V. A. Matematikai elemzés.

Milnor, J. Morse elmélet / Per. angolról. V. I. Arnold . - 1965. - 184 p.

Milnor, J. Morse elmélet / Per. angolról. V. I. Arnold . - 1965. - 184 p.

Hirsch M. Differenciál topológia / Per. angolról. D.B. Fuks .. - M . : Mir, 1979. - 279 p.

Felvéve F. Megjegyzés a fúvókák elegendőségéről. – Inventiones Mathematicae, vol. 13, 3. szám, 1971, pp. 225-231.

Pavlova N.G., Remizov A.O. Bevezetés a szingularitáselméletbe . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .