Funkcionális

A funkcionális egy tetszőleges halmazon definiált függvény , amelynek numerikus értéktartománya van : általában valós számok vagy komplex számok halmaza . Tágabb értelemben a funkcionális bármely leképezés egy tetszőleges halmazból egy tetszőleges (nem feltétlenül numerikus) gyűrűre . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

A funkcionálisokat a funkcionális elemzés egyik központi fogalmaként tanulmányozzák , és a variációszámítás fő tárgya a funkcionális variációk tanulmányozása.

Definíciók

A funkcionális tartomány bármilyen halmaz lehet. Ha a definíciós tartomány egy topológiai tér , akkor egy folytonos függvény definiálható ; ha a tartomány egy feletti vagy feletti lineáris tér , akkor egy lineáris függvény definiálható ; ha a tartomány egy rendezett halmaz , akkor monoton függvény definiálható. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Egy topológiai téren definiált függvényt folytonosnak nevezünk, ha folytonos, mint egy topológiai térre való leképezés vagy . $x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Egy topológiai térben definiált függvényt egy pontban folytonosnak nevezünk, ha ezen a ponton folytonos, mint egy topológiai térre való leképezés vagy . $x$ $x\X-ben$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

A lineáris térben definiált, állandóval való összeadást és szorzást megőrző függvényt lineáris függvénynek nevezzük . (A lineáris tér lineáris térbe való leképezését operátornak nevezzük ).

Az egyik legegyszerűbb funkcionális a projekció (egyik komponensének vagy koordinátájának vektorhoz való hozzárendelése).

Gyakran ez vagy az a függvénytere lineáris tér szerepét tölti be (folyamatos függvények intervallumon, integrálható függvények síkon stb.). Ezért az alkalmazott területeken a függvényt gyakran függvények függvényeként értelmezik , olyan leképezésként, amely egy függvényt számmá (valós vagy komplex) alakít át.

Egy lineáris térben lévő függvényt pozitív határozottnak mondunk, ha értéke nem negatív, és csak a nullánál egyenlő nullával.

A vektort normává alakító leképezés egy konvex pozitív-definit függvény, ez az egyik legelterjedtebb funkcionál. A fizikában gyakran alkalmazzák a cselekvést - szintén funkcionális.

Az optimalizálási problémákat a funkcionálisok nyelvén fogalmazzák meg : olyan megoldást kell találni (egyenletek, egyenletrendszerek, kényszerrendszerek, egyenlőtlenségrendszerek, zárványrendszerek stb.), amely egy adott funkcionális extrémumot (minimumot vagy maximumot) szállít. A variációk elemzése során a funkcionálisakat is figyelembe veszik .

Lineáris térben funkcionális

Később a lineáris térben lévő funkcionális fogalma elválik a hagyományos funkcionális fogalmától , mint olyan függvénytől, amely a lineáris tér elemeit képezi le a skalárok terébe . Gyakran (például amikor a függvények tere egy lineáris tér) a „funkcionális” fogalmának ez a két változata egybeesik, ugyanakkor nem azonosak és nem nyeli el egymást.

A funkcionálisok különösen fontos fajtái a lineáris funkcionálisok .

Példák

funkció norma
függvény értéke egy fix ponton
egy függvény maximuma vagy minimuma egy szegmensen
a függvény integráljának értéke
egy valós változó valós függvényének diagramjának hossza
egy valós argumentum vektorfüggvényével parametrikusan meghatározott görbe hossza (úthossz)
két valós argumentum vektorfüggvénye által parametrikusan meghatározott felület
skaláris szorzat egy fix vektorral
cselekvés a mechanikában
energia funkcionális

Irodalom

V. I. Szobolev . Funkcionális // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Fejezet. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : ill. — 150.000 példány.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. - M .: Nauka , 1976 . — 544 p. - 35.000 példány.
Rudin W. Funkcionális elemzés. — M .: Mir , 1975. — 443 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4155667-7 J9U : 987007553161005171 LCCN : sh85052326 NKC : ph114596