Kritikus pontok sokasága

Egy -sima függvény kritikus pontjának multiplicitása ennek a függvénynek a gradiens leképezésének ún. lokális algebrájának dimenziója a vizsgált pontban. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R}$

Definíció

Legyen a változók -sima függvénye , amelynek megvan a kritikus pontja. A megfelelő gradiens leképezést a képlet adja meg. Vezessük be a következő jelölést: $f:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \nabla f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}).$

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ A formális hatványsorok algebrája olyan változókban , amelyek középpontja a $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O.$
$I_{\nabla f}=(\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n})$ ideális a generátorok által generált sima függvények algebrájában $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}.$

Az egyes sima függvényeket a formális Taylor-soraihoz társítva egy beágyazást kapunk az algebrába . A gradiens leképezés lokális algebráját egy pontban hányados algebrának , dimenzióját pedig a függvény pontbeli multiplicitásának nevezzük . ${\displaystyle I_{\nabla f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f))$ $f$ $O.$

Abban az esetben, ha a függvények egy ponton lineárisan független gradienssel rendelkeznek (ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy a függvény Hess -féle értéke nem nulla), a multiplicitást és a kritikus pontot nem degeneráltnak nevezzük . Nem kritikus pont esetén is kényelmes . ${\displaystyle \partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n))$ $O$ $f$ $\mu=1$ $O$ $\mu=0$

Egyváltozós függvények

Ebben az esetben a kritikus pont többszöröse a következő feltétellel határozható meg: $n=1$ $\mu$ $O$

{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {d ^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0,

az érték egy nem kritikus pontnak felel meg. Valóban, mivel ebben az esetben a függvény hatványsora egy taggal kezdődik, így bármely elem ábrázolható , ahol és az együtthatók által adott fokszámú polinom , azaz. $\mu=0$ ${\displaystyle \nabla f={\partial f}/{\partial x))$ $x^{\mu },$ $g\in \mathbb {R} [[x]]$ $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$ $\alpha \in \mathbb {R} [[x]]$ $p_{\mu -1}$ $\mu-1,$ $\mu$ $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$

Toujron tétele ebben az esetben triviális formát ölt: a véges multiplicitás kritikus pontjának szomszédságában vannak olyan koordináták, amelyekben a függvény alakja $\mu$

f(x)=x^{\mu +1}.

Több változó függvényei

Ebben az esetben a kritikus pont fontos jellemzője a Hess-mátrix rangja a pontban . $O$ $r$ $H(f)$ $O$

Ha , akkor ( a Morse-lemma szerint ) a pont szomszédságában a függvény sima lokális koordináták kiválasztásával a formára redukálódik $r=n$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Ha , akkor a pont szomszédságában a függvény formára redukálódik a sima lokális koordináták kiválasztásával $r=n-1$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\ pm1,

és ha a függvény többszöröse , akkor az alakra redukálódik

g(x_{n})

\mu </infty

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{ i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .

Ha , akkor a pont szomszédságában a függvény formára redukálódik a sima lokális koordináták kiválasztásával $r=n-2$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \ alfa _{i}=\pm 1,

ahol a függvény Taylor-sora fokmonommal kezdődik

g(x_{n-1},x_{n})

\geq 3.

Ha egy függvény köbös részének három különböző (valódi vagy összetett) gyöke van, akkor az alakra redukálódik $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Ha egy függvény köbös részének két különböző gyöke van (az egyik többszörös), akkor az általános helyzet további feltétele mellett a függvény formára redukálódik $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .

Osztási tétel

Legyen a változó sima függvénye , amelynek egy pontja a véges multiplicitás kritikus pontja a változóban , azaz. $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ $n+1$ ${\displaystyle x,y_{1},\ldots ,y_{n))$ $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $\mu \geq 0$ $x$

${\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i))}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\ frac {\partial ^{\mu +1}f}{\partial x^{\mu +1))}(0)\neq 0.\quad \ (*)$

Ekkor a pont szomszédságában a függvény a formában ábrázolható $0$ $f$

$f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\ mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu }a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )}, \quad\(**)$

ahol és érveik sima függvényei, nem tűnik el mindenki számára . $\varphi$ $a_{{i}}$ $\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})$ $a_{i}(0,\ldots ,0)=0$ $i<\mu$

Ezt a tételt először Weierstrass bizonyította komplex változók holomorf függvényeire [1] (a Weierstrass - osztástétel ). A fentebb megadott valódi analógot gyakran Malgrange- vagy Mather -osztástételnek nevezik .

A leképezések kritikus pontjai

Egy -sima leképezés kritikus pontjának multiplicitása az adott leképezés lokális algebrájának dimenziója . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ $n>1,$

Legyen egy -sima leképezés, amelynek kritikus pontja van. A leképezést a változókon lévő függvények adják meg . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $n$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n))$ $n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Vezessük be a következő jelölést:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ A formális hatványsorok algebrája olyan változókban , amelyek középpontja a $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O.$
$I_{f}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ideális a generátorok által generált sima függvények algebrájában $f_{1},\ldots ,f_{n}.$

Az egyes sima függvényeket a formális Taylor-soraihoz társítva egy beágyazást kapunk az algebrába . Egy pontban történő leképezés lokális algebráját hányados algebrának , a dimenzióját pedig a pontban történő leképezés többszörösének nevezzük . ${\displaystyle I_{f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f))$ $f$ $O.$

Lásd még

Morse lemma. Toujron tétele

Irodalom

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. A differenciálható leképezések szingularitásai, – Bármelyik kiadás.
Brecker T., Lander L. Differenciálható baktériumok és katasztrófák, - Bármelyik kiadás.
Golubitsky M., Guillemin V. Stabil leképezések és szingularitásaik, - M.: Mir, 1977.
Hormander L. Bevezetés több összetett változó függvényelméletébe, - M .: Mir, 1968.
Cikkgyűjtemény: A differenciálható leképezések jellemzői, - M.: Mir, 1968.
Palamodov V.P. A holomorf leképezés sokféleségéről, Funkts. elemzés és alkalmazásai, 1:3 (1967), 54–65.
Arnold, V.I., Megjegyzés a Weierstrass előkészítő tételhez, Funktsional. elemzés és alkalmazásai, 1:3 (1967), 1–8.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Bevezetés a szingularitáselméletbe . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Jegyzetek

↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. – Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.