Egy változó másodfokú függvénye

A másodfokú függvény az alak második fokának teljes racionális függvénye , ahol és . A másodfokú függvényegyenlet négyzetes trinomit tartalmaz . A másodfokú függvény grafikonja egy parabola . A másodfokú függvény gráfjának sok tulajdonsága valamilyen módon összefügg a parabola tetejével, ami nagymértékben meghatározza a gráf helyzetét és megjelenését. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a \neq 0$ $a,b,c\in \mathbb {R}$

A főbb jellemzők áttekintése

A másodfokú függvény számos tulajdonsága függ az együttható értékétől . A következő táblázat áttekintést ad a másodfokú függvény főbb tulajdonságairól [1] . Bizonyításukat a cikk megfelelő szakaszaiban tárgyaljuk. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a$

Ingatlan	$a>0$	$a<0$
Funkció hatóköre	$D(f)=\mathbb {R}$
Függvényértékek halmaza	$E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a));+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Funkcióparitás	Páros függvény a ; se páros, se páratlan $b=0$ $b\neq 0$
Funkció periodicitása	Nem periodikus funkció
A funkció folytonossága	Mindenhol folyamatos működés, nincs folytonossági pont
Funkció nullák	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ , ha nincsenek valódi nullák, ha $D=b^{2}-4ac\geq 0$ $D=b^{2}-4ac<0$
Funkciókorlát at $x\to \pm \infty$	$f(x)\to +\infty$ nál nél $x\to \pm \infty$	$f(x)\to -\infty$ nál nél $x\to \pm \infty$
Funkció differenciálhatóság	Mindenhol szorozható differenciálható: $f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Extrém pontok (abszolút extrém)	$x_{min}={\frac {-b}{2a))$ (minimális)	$x_{max}={\frac {-b}{2a))$ (maximális)
Szigorú monotonitás intervallumai	vel csökken $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$	növekszik vel csökken $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$
Egy függvény konvexitása	Mindenhol lefelé konvex függvény	Mindenhol konvex függvény
Inflexiós pontok	Nincsenek inflexiós pontok
Funkció korlátozás	Alulról korlátozott	Korlátozott felülről
A függvény legnagyobb értéke	Nincs (korlátlan felülről)	$y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$
A függvény legkisebb értéke	$y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$	Nincs (alulról korlátlan)
Pozitív függvényértékek	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$	${\megjelenítési stílus (x_{1};x_{2})}$
Negatív függvényértékek	${\megjelenítési stílus (x_{1};x_{2})}$	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Az együtthatók hatása a diagramtranszformációra

A másodfokú függvény egyenletének szabványos jelölése

A valós számokat , és a másodfokú függvény általános jelölésében együtthatóinak nevezzük. Ebben az esetben az együtthatót általában idősebbnek nevezik, és az együttható ingyenes. Az egyes együtthatók megváltoztatása a parabola bizonyos átalakulásához vezet. $a$ $b$ $c$ $a$ $c$

Az együttható értékéből meg lehet ítélni, hogy az ágai milyen irányba (felfelé vagy lefelé) vannak irányítva, és értékelhető az y tengelyhez viszonyított tágulása vagy összenyomódása : $a$

Ha , akkor a parabola ágai felfelé irányulnak, vagyis a csúcsa alatta található. $a>0$
Ha , akkor a parabola ágai lefelé irányulnak, azaz csúcsa felül található. $a<0$
Ha , akkor a parabola az y tengely mentén összenyomódik, azaz szélesebbnek és laposabbnak tűnik. $|a|<1$
Ha , akkor a parabola az y tengely mentén megfeszül, vagyis keskenyebbnek és meredekebbnek tűnik. $|a|>1$

Az együttható értékének befolyása legegyszerűbben a forma másodfokú függvényével szemléltethető , azaz és esetén . Ebben az esetben a másodfokú függvény lineárissá válik . $a$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2))$ $b=0$ $c=0$ $a=0$

Az együttható változása a parabola eltolódását vonja maga után mind az abszcissza tengelyhez , mind az ordináta tengelyéhez képest . Ha az értéket 1-gyel növeljük, a parabola balra és egyidejűleg lefelé tolódik. Ha 1-gyel csökkentjük , a parabola jobbra tolódik, és ezzel egyidejűleg felfelé is. Az ilyen transzformációkat az magyarázza, hogy az együttható a parabola érintőjének meredekségét jellemzi az ordinátatengellyel való metszéspontban (vagyis pontban ). $b$ $b$ $1/2a$ $(2b+1)/4a$ $b$ $1/2a$ $(2b-1)/4a$ $b$ $x=0$

Az együttható a parabola párhuzamos transzlációját jellemzi az y tengelyhez képest (azaz felfelé vagy lefelé). Ha ennek az együtthatónak az értékét 1-gyel növeljük, a parabola 1-gyel feljebb mozdul. Ennek megfelelően, ha az együtthatót 1-gyel csökkentjük, akkor a parabola is 1-gyel lefelé tolódik. Mivel az együttható a parabola csúcsának helyzetét is befolyásolja, nem lehet pusztán az együttható értékéből megítélni, hogy a csúcs az x tengely felett vagy alatt helyezkedik el. $c$ $c$ $b$ $c$

Másodfokú függvény írása a parabola csúcsának koordinátái alapján

Bármilyen másodfokú függvényt megkaphatunk a legegyszerűbb másodfokú függvény nyújtásával/tömörítésével és párhuzamos fordításával . Tehát egy alakú függvény grafikonját úgy kapjuk meg, hogy a függvény grafikonját időnként tömörítjük (at ) vagy nyújtjuk (at ) , majd párhuzamos átvitelével egységekkel jobbra és egységekkel felfelé (ha ezek az értékek negatív számokat, majd balra, illetve lefelé). Nyilvánvaló, hogy a transzformáció elvégzésével a függvény parabolájának teteje pontról pontra fog mozogni . Ez a tény egy másik módot ad egy tetszőleges másodfokú függvény parabola csúcsának koordinátáinak kiszámítására úgy, hogy az egyenletét olyan alakba hozza , amely lehetővé teszi a parabola csúcs koordinátáinak azonnali megtekintését - . $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=x^{2}$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $a<0$ $a>0$ $f(x)=x^{2}$ $a$ $x_{0}$ $y_0$ $f(x)=x^{2}$ $(0;0)$ $(x_{0};y_{0})$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$

Az űrlap tetszőleges másodfokú függvényének formává alakítása lehetővé teszi a teljes négyzet kiválasztását a rövidített binomiális szorzás képleteinek használatával : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$

f(x)=ax^{2}+bx+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\ frac {b^{2}}{4a^{2}}}\jobbra)+c

=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}} }\jobbra)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c

=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac }{4a}}

=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}

=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}

, hol és

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a))

A differenciális módszerrel kiszámított értékek összehasonlításával ( lásd a cikk megfelelő részét) arról is meggyőződhetünk, hogy ezek a parabola csúcs koordinátái. Konkrét esetekben egyáltalán nem szükséges megjegyezni az adott körülményes képleteket, célszerűbb minden alkalommal közvetlenül a kívánt alakra végrehajtani a polinom átalakítását. Egy konkrét példában ez a módszer így néz ki: $x_{0}$ $y_0$

f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x\right)+5

=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x+4-4\right)+5

=2\cdot \left(\left(x+2\right)^{2}-4\right)+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-8+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3\Rightarrow S(-2;-3)

Ennek a módszernek a hátránya a nehézkessége, különösen abban az esetben, ha a zárójelek miatt törtekkel kell dolgozni . Ezenkívül bizonyos jártasságot igényel a rövidített szorzási képletek kezelésében .

A fenti általános bizonyítás azonban egy egyszerűbb módszerhez vezet a parabola csúcs koordinátáinak kiszámításához a és képletekkel . Például ugyanarra a funkcióra : $x_{0}={\frac {-b}{2a))$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Így, . $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$

A függvény nullái

Egy másodfokú függvény nulláinak száma

A másodfokú függvény egy egész másodfokú racionális függvény, tehát a valós területen legfeljebb két nulla lehet. A komplex tartomány kiterjesztése esetén elmondható, hogy a másodfokú függvénynek minden esetben pontosan két komplex nullája van, amelyek lehetnek szigorúan valós számok, vagy tartalmazhatnak képzeletbeli egységet .

A másodfokú függvény nulláinak számát a megfelelő másodfokú egyenlet megoldása nélkül is meghatározhatja a diszkrimináns kiszámításával . Ugyanakkor számításának többféle változata van: közönséges (mindig alkalmazható), redukált (páros együttható esetén kényelmes ) és redukált (csak a redukált polinomra vonatkozik). Ebben az esetben a számértékek minden esetben eltérnek, azonban a diszkrimináns előjele a variációtól függetlenül egybeesik. $b$

Teljes diszkriminatív	Csökkentett diszkriminancia	Csökkentett diszkriminancia
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

A diszkrimináns számításától függetlenül a következő állítások igazak lesznek:

Ha , akkor a függvénynek van egy nullája a 2-es multiplicitásnak, amely egybeesik a parabola csúcsának abszcisszájával; $D=0$
Ha , akkor a függvénynek két valós nullája van, és a parabola két pontban metszi az x tengelyt; $D>0$
Ha , akkor a függvénynek nincsenek valódi nullái (mindkét nullája komplex szám lesz), és a grafikonja teljesen az abszcissza tengelye felett helyezkedik el (ha ), vagy teljesen alatta (ha ). $D<0$ $a>0$ $a<0$

Például egy függvény esetében, amely a diszkrimináns standard képletét használja, a következőket kapjuk: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0

Ez azt jelenti, hogy ennek a függvénynek két valós nullája van, azaz parabolája két pontban metszi az x tengelyt.

Másodfokú függvény nullák kiszámításának módszerei

Egy másodfokú függvény nulláinak megtalálása egy másodfokú egyenlet megoldására redukálódik , ahol . Az, hogy egy adott másodfokú függvényhez melyik módszer a legalkalmasabb, nagymértékben függ annak együtthatóitól. Minden speciális esetben a speciális képletek és módszerek mellett mindig az univerzális képlet alkalmazható. Az összes felsorolt négyzetgyököt tartalmazó képletnél figyelembe kell venni, hogy ha a gyökkifejezés negatív szám , akkor a másodfokú függvénynek a valós területen nincs nullája, hanem két összetett nullája van. $ax^{2}+bx+c=0$ $a \neq 0$

A legáltalánosabb esetben az univerzális képletet alkalmazzák:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Az adott formájú egyenlet esetében , amelyben a vezető együttható eggyel egyenlő, egy egyszerűsített képletet használunk: $x^{2}+px+q=0$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} }

A redukált formát az általánosból úgy kaphatjuk meg, hogy az eredeti egyenletet elosztjuk -val . Ugyanakkor nyilvánvalóan és .

ax^{2}+bx+c=0

a

p=b/a

q=c/a

Hiányos másodfokú egyenlet esetén az egyenlet hatványformát vesz fel . Ezért a hatványegyenletek megoldási módszereivel a következőket kapjuk: $b=0$ $ax^{2}+c=0$

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a))))

Hiányos másodfokú egyenlet esetén az egyenlet alakot ölt , és a megoldáshoz célszerű a faktorizációs módszert használni . Ha kivesszük a zárójelekből, azt kapjuk . Így a következőkkel rendelkezünk: $c=0$ $ax^{2}+bx=0$ $fejsze$ $ax(x+b/a)=0$

x_{1}=0

x_{2}={\frac {-b}{a))

Másodfokú függvény paritása és szimmetriája

Szimmetria az y tengely körül

A másodfokú függvény egy egész másodfokú racionális függvény, tehát egy teljes racionális függvény minden megfelelő tulajdonsága igaz rá. Konkrétan csak akkor páros , ha a polinomja csak páros kitevőket tartalmaz , és páratlan, ha csak páratlan kitevőket tartalmaz. Ebből következik, hogy egyetlen másodfokú függvény sem lehet páratlan attól a ténytől, hogy a feltétel kezdetben rá van szabva , ezért mindig páros kitevőt 2 fog tartalmazni. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

Ezen kívül nyilvánvaló, hogy a másodfokú függvény csak akkor páros, ha nincs 1 kitevő, ami azt jelenti . Ez a tény könnyen bizonyítható közvetlenül. Tehát nyilvánvaló, hogy a függvény páros, mivel igaz: $b=0$ $f(x)=ax^{2}+c$

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)

, vagyis .

f(-x)=f(x)

Így egy másodfokú függvény csak akkor szimmetrikus az y tengelyre, ha . Az együtthatók konkrét értékei egyáltalán nem befolyásolják ezt a tényt. Konkrétan nullával is egyenlő lehet, vagyis hiányzik a képletbejegyzésből. Ebben az esetben a parabola csúcsa egybeesik a koordinátarendszer origójával. $b=0$ $a$ $c$ $c$

Minden más esetben a másodfokú függvény nem lesz sem páros, sem nem páratlan, vagyis egy általános alak függvénye. Ez könnyen kimutatható egy függvény paritásának definíciójával is :

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)

, vagyis .

f(-x)\neq f(x)

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+ bx-c)\neq -f(x)

, vagyis .

f(-x)\neq -f(x)

Az axiális szimmetria általában

Ugyanakkor bármely másodfokú függvény grafikonja tengelyirányú szimmetriával rendelkezik. Tudniillik, ha az egyenlőség valamely szám függvényére igaz , akkor ennek a függvénynek a grafikonja tengelyirányú szimmetriával rendelkezik az egyeneshez képest . Egy másodfokú függvényhez képest egy ilyen szám a parabolája csúcsának abszcisszája . Így bármely másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengellyel párhuzamos és a parabola tetején átmenő tengelyhez képest, a függvény szimmetriatengelye pedig egy egyenes . $f(x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $f(x)$ $x = x_0$ $x_{0}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $x=-b/2a$

Ennek a ténynek a bizonyítása sem nehéz:

f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(x-{ \frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ jobb)+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2} -{\frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Az átalakítás hasonló eredményhez vezet:

f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\left(-x-{\frac {b}{2a))\right)=\dotsb =ax^ {2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Így tehát a függvény grafikonja szimmetrikus az egyeneshez képest . $f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)$ $x={\frac {-b}{2a}}$

Parabola csúcsának kiszámítása egy függvény nulláival

Mivel a parabola szimmetriatengelye mindig átmegy a csúcsán, nyilvánvaló, hogy a másodfokú függvény nullái is mindig szimmetrikusak a parabola csúcsának abszcisszán. Ez a tény megkönnyíti a parabola csúcs koordinátáinak kiszámítását a függvény ismert nulláival. Valós számok terén ez a módszer csak akkor működik, ha a parabola keresztezi az abszcissza tengelyét, vagy megérinti azt, vagyis a valós területből nullák vannak.

Abban az esetben, ha a másodfokú függvénynek csak egy nullája van ( 2-es multiplicitású ), akkor nyilvánvalóan magának a parabolának a csúcsa. Ha a parabolának nullák és , akkor csúcsának abszcisszája könnyen kiszámítható a függvény nulláinak számtani középértékeként . Egy csúcs ordinátáját úgy számítjuk ki, hogy az abszcisszáját behelyettesítjük a függvény eredeti egyenletébe: $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{0}$

x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y_{0}=f(x_{0})

Ez a módszer különösen kényelmes lesz, ha a másodfokú függvényt faktorizált formában adjuk meg. Így például egy függvény parabolájának lesz egy csúcsa a következő koordinátákkal: $f(x)=2(x-1)(x+3)$

x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1

y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8

Ebben az esetben nem is szükséges a függvény egyenletét általános alakra transzformálni.

Kutatás differenciál- és integrálanalízis módszereivel

Származékos és antiderivatív

Mint minden teljes racionális függvény, a másodfokú függvény is differenciálható a teljes definíciós tartományában . Származéka könnyen megtalálható a differenciálás elemi szabályaival : . Így azt látjuk, hogy a másodfokú függvény deriváltja egy lineáris függvény , amely vagy szigorúan monoton növekszik (if ), vagy szigorúan monoton csökken (if ) a teljes definíciós tartományban. Az is könnyen belátható , ami azt jelenti, hogy az eredeti függvény egyenletében az együttható megegyezik a parabola origó meredekségével. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f'(x)=2ax+b$ $a>0$ $a<0$ $f'(0)=b$ $f'(0)=b$

A másodfokú függvény, mint minden teljes racionális függvény, szintén integrálható a teljes definíciós tartományába . Az antideriváltja nyilvánvalóan kockafüggvény :

F(x)=\int (ax^{2}+bx+c)dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x ^{2}+cx+d

, hol .

d\in \mathbb {R}

Monotonitás és szélsőséges pontok

Nyilvánvalóan a parabola csúcsa a legmagasabb vagy legalacsonyabb pontja, vagyis a másodfokú függvény abszolút szélsőpontja (minimum at és maximum at ). Ezért a parabola csúcsának abszcisszája a függvény definíciós tartományát két monoton intervallumra osztja, amelyek közül az egyiken a függvény növekszik, a másikon pedig csökken. A differenciálszámítás módszereit felhasználva, ezt a tényt felhasználva, könnyen levezethető egy egyszerű képlet az általános egyenlet által adott parabola csúcsának koordinátáinak az együtthatóin keresztül történő kiszámításához. $a>0$ $a<0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Az extrémum létezésének szükséges és elégséges feltétele szerint kapjuk: . Ugyanakkor ha . A függvény egy állandó függvény , -val és -vel . Így az extrémum létezésének szükséges és elégséges kritériuma a pontban teljesül . Ezért megvannak a csúcs koordinátái: $f'(x)=2ax+b$ $f'(x)=0$ $x=-b/2a$ $f''(x)=2a$ $f''>0$ $a>0$ $f''<0$ $a<0$ $x_{0}=-b/2a$

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}=f(x_{0})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b} {2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

A parabola teteje a másodfokú függvény tartományát két monoton intervallumra osztja: és . A függvény esetében az elsőn szigorúan monoton csökkenő, a másodikon szigorúan monoton növekvő függvény. Ebben az esetben pontosan az ellenkezője történik. $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a))\right)$ $\left({\frac {-b}{2a));+\infty \right)$ $a>0$ $a<0$

Ebben az esetben egyáltalán nem emlékezhet ezekre a képletekre, hanem egyszerűen minden alkalommal használja a szélsőségek létezésének kritériumait minden egyes másodfokú függvényhez. Vagy csak a parabola csúcsának abszcisszáját kiszámító képletet ajánlott megjegyezni. Az ordinátája könnyen kiszámítható, ha a számított abszcisszát behelyettesítjük egy adott függvényegyenletbe. $x_{0}=-b/2a$

Például egy függvényhez a következőket kapjuk: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Így ennek a függvénynek a parabolájának csúcsa koordinátákkal rendelkezik . Ebben az esetben a függvény szigorúan monoton csökken az intervallumon és szigorúan monoton növekszik az intervallumon $(-2;-3)$ $(-\infty ;-2)$ $(-2;+\infty )$

Konvexitás és inflexiós pontok

Mivel egy másodfokú függvény második deriváltja egy konstans lineáris függvény , ezért nincs inflexiós pontja , mivel értéke állandó, és ennek megfelelően egyetlen pontjára sem teljesül elegendő feltétel. Sőt, nyilvánvaló, hogy esetén az eredeti másodfokú függvény mindenhol konvex lesz lefelé (annak köszönhetően, hogy a második deriváltja mindenhol pozitív), a esetén pedig mindenhol konvex felfelé (második deriváltja mindenhol negatív lesz). $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f''(x)=2a$ $a>0$ $a<0$

Másodfokú függvény megfordíthatósága

Mivel a másodfokú függvény nem szigorúan monoton, irreverzibilis . Mivel azonban bármely folytonos függvény megfordítható a szigorú monotonitási intervallumán, akkor bármely másodfokú függvényhez két inverz függvény tartozik, amelyek megfelelnek a monotonitási intervallumának. A másodfokú függvény inverze minden monotonitási intervallumán az aritmetikai négyzetgyök függvényei [2] .

Tehát az aritmetikai négyzetgyök függvény az intervallum négyzetfüggvényének inverze . Ennek megfelelően a függvény inverz az intervallum függvényével . A függvények grafikonjai és szimmetrikusak lesznek egymással egy egyeneshez képest . $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ $f(x)=x^{2}$ $[0, +\infty)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x))$ $f(x)=x^{2}$ $(-\infty ;0]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Egy tetszőleges másodfokú függvény inverz függvényeinek kereséséhez kényelmesebb az alakban ábrázolni , ahol a parabolájának csúcsa. Ezután a jól ismert módszert használjuk az inverz függvények keresésére - felcseréljük a változókat , és ismét kifejezzük : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$ $x$ $y$ $y$ $x$

{\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2))

{\frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y

Így az intervallum inverze a függvény . $f(x)$ $[x_{0};+\infty )$ $f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Az intervallumon inverz van a függvény . $(-\infty ;x_{0}]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Például egy csúcsponttal rendelkező függvényhez a következőt kapjuk: $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$ $(-2;-3)$

f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

az intervallumon .

[-2;+\infty )

f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

az intervallumon .

(-\infty ;-2]

Példák a megjelenésre a gyakorlatban

Egy szabadon eső test magasságának időfüggősége.
A kör területének függősége annak lineáris méreteitől (például sugár ).
A távolság időfüggősége egyenletesen gyorsított mozgás esetén.
A nyomás függése az áramlástól (centrifugálszivattyúra jellemző nyomás).

Általánosítás

Az általánosítás sok változó esetére másodrendű felületként szolgál , általában egy ilyen egyenlet a következőképpen írható fel:

f({\vec {x)))={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c

Itt: egy másodfokú mátrix , egy konstans vektor , egy konstans. A függvény tulajdonságait, mint az egydimenziós esetben, a fő együttható - a mátrix - határozza meg . $A$ ${\vec {b}}$ $c$ $A$

Lásd még

Affin másodfokú függvény

Jegyzetek

↑ Kvadratikus függvény // Nagy iskolai enciklopédia. - M . : "Orosz enciklopédikus partnerség", 2004. - S. 118-119.
↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusgleichungen, Stochastik: [ német. ] . - München: Mentor, 1999. - T. 9. - S. 17-19. — 167 p. — ISBN 3-580-63631-6 .

Irodalom

Scanavi M.I. Négyzetes trinomiális grafikonja // Alapfokú matematika. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M. , 1974. - S. 130-133. — 592 p.
Kaplan I.A. Harmincharmadik gyakorlati óra (egy másodfokú függvény szélsőértéke) // Gyakorlati órák a felsőbb matematikából. - 3. kiadás - Harkov, 1974. - S. 449-451.