A polinomok rövidített szorzásának képletei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A rövidített polinomiális szorzási képletek a polinomiális szorzás gyakori esetei . Ezek közül sok a Newton-binomiális speciális esete . Középiskolában tanulják az algebra során .

Képletek négyzetekhez

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Két négyzet különbsége

Két négyzet minden különbsége szorzatként ábrázolható a képlettel

a^{2}-b^{2}=(ab)(a+b)

Bizonyítás

A törvény matematikai bizonyítása összetett. Az eloszlási törvényt a képlet jobb oldalára alkalmazva a következőt kapjuk:

{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2))

A szorzás kommutativitása miatt a középső tagok megsemmisülnek:

ba-ab=0

és marad

{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2))

A kapott azonosság az egyik leggyakrabban használt identitás a matematikában. Számos alkalmazás között egyszerű bizonyítást nyújt két változó számtani, geometriai és harmonikus átlagegyenlőtlenségére .

A bizonyítás bármely kommutatív gyűrűben érvényes .

Ezzel szemben, ha ez az azonosság az R gyűrűben az a és b elempárok mindegyikére érvényes , akkor R kommutatív. Ennek ellenőrzésére alkalmazzuk az eloszlási törvényt az egyenlet jobb oldalára, és megkapjuk:

{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2))

Ahhoz, hogy ez egyenlő legyen , rendelkeznünk kell $a^{2}-b^{2}$

ba-ab=0

minden a , b párra , tehát R kommutatív.

Kocka képletek

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^ {2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Képletek a negyedik fokozathoz

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
$a^{4}-b^{4}=(ab)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (származta: ) $a^{2}-b^{2}$
$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2} }ab+b^{2})$

Képletek az n- edik fokozathoz

$a^{n}-b^{n}=(ab)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+. ..+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2} -...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , ahol $n\-ben N$
$a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{ 2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , ahol $n\-ben N$

Komplex számokban

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
$a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2} }b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)$
$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(ab)(a-ib)$
$a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+ i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i }{\sqrt {2}}}b\right)$