Másodrendű felület

A másodrendű felület azon pontok helye a háromdimenziós térben, amelyek téglalap alakú koordinátái kielégítik az alábbi alakú egyenletet.

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{ 14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

amelyben a , , , , együtthatók legalább egyike nem nulla. $a_{11}$ $a_{{22}}$ $a_{{33}}$ $a_{{12}}$ $a_{{23}}$ $a_{{13}}$

Másodrendű felületek típusai

Hengeres felületek

Egy felületet generatrixos hengeres felületnek nevezünk , ha ennek a felületnek bármely pontjára az ezen a ponton a generatrixszal párhuzamosan átmenő egyenes teljes egészében a felülethez tartozik . $S$ ${\vec{l))$ $M_{0}$ ${\vec{l))$ $S$

Tétel (a hengerfelület egyenletéről).
Ha valamelyik derékszögű derékszögű koordinátarendszerben a felületen az egyenlet szerepel , akkor az egy hengeres felület, amelynek a tengellyel párhuzamos generatrixa van . $S$ $f(x,y)=0$ $S$ $oz$

Az egyenlet által a síkban megadott görbét a hengeres felület vezetőjének nevezzük . $f(x,y)=0$ $z=0$

Ha egy hengeres felület vezetését egy másodrendű görbe adja , akkor az ilyen felületet másodrendű hengerfelületnek nevezzük .

Elliptikus henger:	Parabola henger:	Hiperbolikus henger:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$y^{2}=2px$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1$

Egyező vonalpár:	Párosított repülőgépek:	Egy pár metsző sík:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$y^{2}=0$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0$

Kúpos felületek

Egy felületet kúpos felületnek nevezünk , amelynek csúcsa pontban van , ha ennek a felületnek bármely pontjában az átmenő egyenes teljes egészében ehhez a felülethez tartozik . $S$ $O$ $M_{0}$ $M_{0}$ $O$

Egy függvényt homogén sorrendűnek nevezünk, ha a következők teljesülnek: $F(x,y,z)$ $m$ $\forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z$ $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$

Tétel (a kúpos felület egyenletéről).
Ha valamelyik derékszögű derékszögű koordinátarendszerben a felületet az egyenlet adja meg , ahol egy homogén függvény, akkor egy kúpos felület, amelynek origója csúcsa. $S$ $F(x,y,z)=0$ $F(x,y,z)$ $S$

Ha a felületet egy olyan függvény adja meg , amely egy másodrendű homogén algebrai polinom, akkor azt másodrendű kúpos felületnek nevezzük . $S$ $F(x,y,z)$ $S$

A kanonikus másodrendű kúpegyenlet a következőképpen alakul:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=0

A forradalom felületei

A felületet egy tengely körüli forgásfelületnek nevezzük , ha a felület bármely pontjában az ezen a ponton áthaladó kör, amelynek középpontja és sugara , teljes egészében ehhez a felülethez tartozik. $S$ $oz$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $z=z_{0}$ $(0,0,z_{0})$ $r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2))}$

Tétel (a forgásfelület egyenletéről).
Ha valamelyik derékszögű derékszögű koordinátarendszerben a felületet az egyenlet adja meg , akkor az a tengely körüli forgásfelület . $S$ $F(x^{2}+y^{2},z)=0$ $S$ $oz$

Ellipszoid :	Egylapos hiperboloid :	Kétlapos hiperboloid:	Elliptikus paraboloid :	Hiperbolikus paraboloid:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$

Ha , a fent felsorolt felületek forgásfelületek. $a=b\neq 0$

Elliptikus paraboloid

Az elliptikus paraboloid egyenletének alakja van

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Ha , akkor az elliptikus paraboloid egy parabola forgásával kialakuló forgásfelület , amelynek paramétere , ennek a parabolának a csúcsán és fókuszán átmenő függőleges tengely körül. $a=b$ $p=a^{2}=b^{2}$

Az elliptikus paraboloid és a sík metszéspontja egy ellipszis . $z=z_{0}>0$

Egy elliptikus paraboloid metszéspontja egy síkkal vagy egy parabola . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

Hiperbolikus paraboloid

A hiperbolikus paraboloid egyenletének alakja van

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

A hiperbolikus paraboloid és a sík metszéspontja hiperbola . $z=z_{0}$

A hiperbolikus paraboloid metszéspontja egy síkkal vagy egy parabola . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

A geometriai hasonlóság miatt a hiperbolikus paraboloidot gyakran " nyeregnek " nevezik.

Központi felületek

Ha a másodrendű felület középpontja létezik és egyedi, akkor a koordinátáit az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg: $\left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)$

${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+ a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{ 0}+a_{34}=0\end{cases}}$

Másodrendű felületi egyenlet mátrixalakja

A másodrendű felületi egyenlet mátrix alakban átírható:

{\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_ {24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix } }x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0

A másodfokú és a lineáris részt is elválaszthatja egymástól:

{\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31 }&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{ 24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0

Ha jelöljük , akkor az egyenlet a következő alakot ölti: $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} }^{T}$

X^{T}AX+2bX+a_{44}=0

Invariánsok

A következő mennyiségek értékei megmaradnak az alap ortogonális transzformációi során :

Mátrix kapcsolódó : $A$
- $I_{1}=\mathrm {tr} \,A$
- $I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_ {2,3}^{2,3}$ , ahol az A mátrix másodrendű mollja, amely i és j indexű sorokban és oszlopokban helyezkedik el. ${M_{A}}_{i,j}^{i,j}$
- $I_{3}=\det A$

A blokk (bővített) mátrixhoz kapcsolódik [1] $B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}$
- $K_{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}$
- $K_{3}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B} }_{i,j,k}^{i,j,k}$
- $K_{4}=\det B$

Az ilyen invariánsokat néha félinvariánsoknak vagy félinvariánsoknak is nevezik.

A koordinátarendszer párhuzamos fordításával a mennyiségek változatlanok maradnak. Ahol: $I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}$

$K_{3}$ csak akkor marad változatlan, ha $I_{2}=I_{3}=K_{4}=0$
$K_{2}$ csak akkor marad változatlan, ha $I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0$

A másodrendű felületek osztályozása az invariánsok értékei alapján

Felület	Az egyenlet	Invariánsok
Ellipszoid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	$I_{3}\neq 0$	$I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0$	$K_{4}<0$
Képzeletbeli ellipszoid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$			$K_{4}>0$
Pont	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Egylapos hiperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$		$I_{2}=0$ vagy $I_{1}I_{3}\leq 0$	$K_{4}>0$
Kétlapos hiperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$			$K_{4}<0$
Kúp	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Elliptikus paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$I_{3}=0$	$K_{4}\neq 0$	$K_{4}<0$
Hiperbolikus paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$		$K_{4}\neq 0$	$K_{4}>0$
Elliptikus henger	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$K_{4}=0$	$I_{2}>0$	$I_{1}K_{2}<0$
Képzeletbeli elliptikus henger	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$				$I_{1}K_{2}>0$
Egyenes vonal (képzeletbeli metsző síkpár)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$				$K_{2}=0$
hiperbolikus henger	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$			$I_{2}<0$	$K_{2}\neq 0$
Egy pár egymást metsző sík	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$			$I_{2}<0$	$K_{2}=0$
parabola henger	$y^{2}=2px$			$I_{2}=0$	$K_{2}\neq 0$
Párhuzamos síkpár	$x^{2}-d^{2}=0$				$K_{2}=0$	$K_{1}<0$
Képzelt párhuzamos síkpár	$x^{2}+d^{2}=0$					$K_{1}>0$
Repülőgép	$x^2=0$					$K_{1}=0$

Jegyzetek

↑ Alexandrov P. S. XIX. fejezet. A másodrendű felületek általános elmélete. // Előadások az analitikus geometriáról. - Nauka, 1968. - S. 504-506. — 911 p.

Irodalom

V. A. Iljin, G. D. Kim. Lineáris algebra és analitikus geometria. - M. : Prospekt, 2012. - 400 p.
V. A. Iljin, E. G. Poznyak. Analitikus geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
P. S. Alekszandrov. Analitikus geometria és lineáris algebra tantárgy. - M. : FIZMATLIT, 1979. - 511 p.
Kendő . A geometriai módszerek eredetének és fejlődésének történeti áttekintése . Ch. 5. § 46-54. M., 1883.