Paraboloid

A paraboloid egy másodrendű felület a háromdimenziós euklideszi térben .

Egy paraboloid egy nem zárt, nem központi (azaz nincs szimmetriaközéppontja ) másodrendű felületként jellemezhető.

Egy paraboloid kanonikus egyenlete derékszögű koordinátákkal :

z=tx^{2}+uy^{2},

ahol és olyan valós számok , amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával.

t

u

Ahol:

ha és azonos előjelű, akkor a paraboloidot elliptikusnak nevezzük , az elliptikus paraboloid speciális esetét ebben az esetben, a felületet általában fordulatparaboloidnak nevezik ; $t$ $u$ $t=u,$
ha és más előjelű, akkor a paraboloidot hiperbolikusnak nevezzük ; $t$ $u$
ha az egyik együttható nulla, akkor a paraboloidot parabolikus hengernek nevezzük .

Paraboloid metszetei tetszőleges helyzetű függőleges (a tengellyel párhuzamos) síkokkal - parabolák . $z$

Egy paraboloidnak a síkjával párhuzamos vízszintes síkokkal párhuzamos metszetei ellipszisek , forgásparaboloid esetén ezek a metszéspontok körök, ha létezik ilyen metszéspont. $x,\ y$

A hiperbolikus paraboloid metszéspontjai hiperbolák .

A metszés bizonyos esetekben előfordulhat, hogy a szakasz egy egyenes vagy egy egyenespár (hiperbolikus paraboloid esetén vagy pár párhuzamos egyenes egy parabola henger esetében), vagy egy ponttá degenerálódhat (elliptikus paraboloid esetén).

Elliptikus paraboloid

Az elliptikus paraboloid egy felület, amelyet a forma függvénye határoz meg:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

Az elliptikus paraboloid úgy írható le, mint párhuzamos parabolák felfelé ágazó családja, amelyek csúcsai egy parabolát írnak le, ágak pedig szintén felfelé (lásd az ábrát).

Ha , akkor az elliptikus paraboloid egy forgásfelület, amelyet a parabola szimmetriatengelye körüli forgása alakít ki. $a=b$

Hiperbolikus paraboloid

Hiperbolikus paraboloid (az építőiparban "gipar"-nak hívják) - nyereg felülete , amelyet egy téglalap alakú koordináta-rendszerben írnak le a forma egyenlete

z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}

vagy

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

Hiperbolikus paraboloid is létrehozható egy olyan parabola mozgatásával, amelynek ágai lefelé irányulnak egy olyan parabola mentén, amelynek ágai felfelé irányulnak (lásd az ábrát).

A hiperbolikus paraboloid egy szabályos felület .

Valamely függvény 4 pont feletti bilineáris interpolációjával generált felület hiperbolikus paraboloid.

Érdekes tények

A folyadék felülete egy egyenletesen forgó edényben a forgás paraboloidja (ami nem közvetlen oka a nevének).
A forgásparaboloid tulajdonságát gyakran használják a főtengellyel párhuzamos sugárnyaláb összegyűjtésére egy pontban - fókuszban , vagy fordítva, a fókuszban lévő forrásból származó párhuzamos sugárnyaláb létrehozására. A parabolaantennák , parabolatükrös fényvisszaverő teleszkópok , reflektorok , autófényszórók stb . működése ezen az elven alapul . További részletekért lásd: reflektor (tükör) .

Lásd még

A hiperboloid egy másik fajta másodrendű felület.
Másodrendű felületek .
Négyzet alakú .

Irodalom

Delaunay B. N., Raikov D. A. Analitikus geometria, két kötetben. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Iljin V. A., Poznyak E. G. Analitikus geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Analitikus geometria. - M . : MSTU kiadó im. N. E. Bauman, 2002. - 388 p. — ISBN 5-7038-1671-8 .