Uralkodott felület

A szabályos felület egy egyenes vonal mozgásával kialakított felület . Az ehhez a felülethez tartozó egyeneseket egyenes vonalú generátoroknak nevezzük , és minden olyan görbét , amely az összes egyenes vonalú generátort metszi , irányítógörbének .

Ha a vezető sugárvektora, a a -n áthaladó generatrix egységvektora , akkor a szabályozott felület sugárvektora $p(u)$ $m=m(u)$ $p(u)$

r=p(u)+v\cdot m(u),

ahol a generatrix egy pontjának koordinátája. $v$

Példák

Szabályozott helicoid
Szabályozott hiperboloid
Hiperbolikus paraboloid
Henger, hiperboloidok és kúp mint vonalas felületek

Tulajdonságok

A szabályozott felületre jellemző, hogy aszimptotikus hálózata félgeodézikus .
Szabályozott felület Gauss - görbülete . $K\leq 0$
Beltrami tétele. Egy szabályos felület mindig egyedi módon hajlítható, így egy tetszőleges vonal aszimptotikussá válik.
Bonnet tétele. Sőt, ha egy nem fejleszthető vezérelt felület görbül egy szabályos felületté , akkor vagy a generátoraik megfelelnek egymásnak, vagy mindkettő egy négyzetbe hajlik, amelyen a generátorcsaládoknak megfelelő hálózat aszimptotikus. $F$ $F'$
Az egyetlen minimális szabályzott felület a helikoid .
A forgásirányos felület egy egylapos hiperboloid , amely hengerré, kúppal vagy síkká degenerálható.
Vannak példák sima vonalú felületekre, amelyek nem teszik lehetővé az űrlap sima paraméterezését $r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u).$

Típusok

A katalán felület olyan szabályozott felület, amelyen minden egyenes vonalú generátor párhuzamos ugyanahhoz a síkhoz.
A hengeres felület olyan szabályzott felület, amelyben az összes egyenes vonalú generátor párhuzamos.
A konoid olyan szabályozott felület, amelynek generátorai egy rögzített egyenest metszenek.

Az építészetben

Szinuszos tető, Sagrada Familia (Barcelona)
Didcot
Torony Ciechanowban
Kobe torony .
Az első Shukhov-torony, 1896 Nyizsnyij Novgorod .
Shukhov-torony Moszkvában.
lépcsőház Torrazzo Cremonában .
Parabola tető Varsó .
Kúpos kalap.
Szent Miklós Rotunda Selóban, Szlovéniában

Változatok és általánosítások

A metrikus térben egy geodetikus mozgás által kialakított felületeket szabályos felületeknek is nevezik. Alekszandr Danilovics Aleksandrov klasszikus eredménye kimondja, hogy egy CAT(0) térben indukált belső metrikával rendelkező szabályozott felület CAT(0) tér. [egy]

Jegyzetek

↑ A. D. Alekszandrov , Vonalozott felületek metrikus terekben A Wayback Machine 2021. április 22-i keltezésű archív másolata , a Leningrádi Egyetem Értesítője, 1. sz., 1957. o. 5-26

Irodalom

Vonalozott felületek // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.