Hadamard tér

A Hadamard-terek (vagy teljes CAT(0) tér belső metrikával ) a Hilbert -terek nemlineáris általánosítása, az Aleksandrov-tér speciális esete felülről határolt görbülettel.

A tereket Jacques Hadamardról nevezték el .

Definíció

A Hadamard-tér egy nem üres teljes metrikus tér , ahol bármely két x és y pontra van olyan m pont , hogy az egyenlőtlenség

{\megjelenítési stílus d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^ {2}\több mint 2}.}

bármely z pontra érvényes .

Jegyzetek

Vegye figyelembe, hogy a pont pontosan az és közepén van, azaz $m$ $x$ $y$ ${\megjelenítési stílus d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2}$ .

Ez látható a fenti egyenlőtlenség feltételezésével.

z=m

A Hilbert-térben a fenti egyenlőtlenség egyenlőséggé változik (val ). $m=(x+y)/2$
A Hadamard szóközök teljes CAT(0) szóközként definiálhatók .

Tulajdonságok

Reshetnyak ragasztási tétele különösen azt állítja, hogy a két Hadamard-tér izometrikus konvex halmazokra ragasztásával kapott tér is Hadamard-tér.
A normált tér akkor és csak akkor Hadamard tér, ha Hilbert tér.
A Hadamard-térben tetszőleges két pont egyetlen geodetikussal összekapcsolható .
- Különösen a Hadamard terek összehúzhatók .
A Hadamard tér minden behatárolt részhalmaza egy egyedi, minimális sugarú zárt golyóban található. Ennek a golyónak a közepét a halmaz közepének nevezzük.
- Konkrétan, ha a Hadamard -térben olyan mozgáscsoport van , amely egy korlátos halmazt invariánsan hagy, akkor a középpontját is rögzíti. $\Gamma$ $\Gamma$
Egy lokálisan konvex zárt halmaz a Hadamard-térben globálisan konvex.
A Cartan-Hadamard tétel szerint egy tér Hadamard-tér, ha egyszerűen össze van kötve , és a CAT(0) egyenlőtlenség lokálisan teljesül, azaz bármely pont beenged egy zárt szomszédságot, amely Hadamard-tér. $x$

Példák

Hilbert tér
Lobacsevszkij tér
Fák teljes belső mérőszámmal
Komplett egyszerűen csatlakoztatott Riemann-elosztók nem pozitív metszeti görbülettel

Változatok és általánosítások

CAT(κ) tér

Irodalom

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrikus geometria tanfolyam. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - 512 p. — ISBN 5-93972-300-4 .