Sándor geometriája

Alexander geometriája a modern geometria axiomatikus megközelítésének sajátos továbbfejlesztése. Az ötlet az, hogy az euklideszi tér axiomatikájában egy bizonyos egyenlőséget egy egyenlőtlenséggel helyettesítsenek.

Történelem

A felső és alsó görbületi kényszerek első szintetikus meghatározását Abraham Wald adta meg Carl Menger felügyelete alatt írt egyetemi munkájában . [1] Ez a mű a 80-as évekig feledésbe merült.

Hasonló meghatározásokat fedezett fel újra Alekszandr Danilovics Aleksandrov . [2] [3] Ennek az elméletnek az első jelentősebb alkalmazásait is ő adta, különösen a felületek beágyazásának és hajlításának problémáira.

A nem pozitív görbületű metrikus terek szorosan kapcsolódó definícióját szinte egyidejűleg adta meg Herbert Busemann . [négy]

Alexandrov és tanítványai kutatása két fő irányban zajlott:

Kétdimenziós terek alulról korlátozott görbülettel;
Tetszőleges méretű terek felülről határolt görbülettel.
- A hiperbolicitás Gromov értelmében ennek az elméletnek a kiterjesztése a diszkrét terekre. Jelentős alkalmazásai vannak a csoportelméletben .

Az alább határolt görbületű tetszőleges méretű tereket csak az 1990-es évek végén kezdték vizsgálni. E tanulmányok indítéka Gromov tömörségi tétele volt . Az alapművet Jurij Dmitrijevics Burago , Mihail Leonidovics Gromov és Grigorij Jakovlevics Perelman írta . [5]

Alapdefiníciók

A metrikus térben lévő pontok hármasának összehasonlító háromszöge az euklideszi síkban azonos oldalhosszúságú háromszög ; vagyis $xyz$ $x$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $\mathbb {E} ^{2}$

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{aligned}}

Az összehasonlító háromszög csúcsánál lévő szöget a hármas összehasonlítási szögének nevezzük, és jelöljük . ${\tilde x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $xyz$ ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$

Az Alekszandrov-geometriában a belső metrikával rendelkező teljes metrikus tereket a következő két egyenlőtlenség valamelyikével veszik figyelembe 4 tetszőleges pont közötti 6 távolságra. $x$

Az első egyenlőtlenség a következő: tetszőleges 4 pont esetén vegyünk egy összehasonlító háromszögpárt , majd egy tetszőleges ponthoz az egyenlőtlenséget $x,y,p,q\in X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

Ebben az esetben a térről azt mondjuk, hogy kielégíti az -egyenlőtlenséget. Az -egyenlőtlenséget kielégítő teljes teret Hadamard térnek nevezzük . Ennek az egyenlőtlenségnek a lokális beteljesülése esetén a térről azt mondják, hogy az Alekszandrovi értelemben vett nem pozitív görbülete van . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

A második egyenlőtlenség a következő: tetszőleges 4 pont esetén az egyenlőtlenség $p,x,y,z\in X$

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

Ebben az esetben azt mondják, hogy a tér kielégíti az -egyenlőtlenséget, vagy azt mondják, hogy a tér nem negatív görbülettel rendelkezik Alekszandrov értelemben . $\mathrm {CBB} [0]$

A görbületre vonatkozó általános korlátozások

Az euklideszi sík helyett helyet foglalhat - a görbületi modellsíkot . Azaz $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ az euklideszi sík ,
$\mathbb {M} [k]$ ha van egy sugarú gömb , $k>0$ $1/{\sqrt {k))$
$\mathbb {M} [k]$ at a Lobacsevszkij görbületi sík . $k<0$ $k$

Ekkor a fenti definíciók a CAT[k] és CBB [k] terek és görbületű és Alekszandrovi értelemben vett terek definícióivá alakulnak át . $\leq k$ $\geq k$ $k>0$ $(xyz)$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k))

Alaptételek

Alekszandrov lemmája fontos technikai megállapítás az összehasonlítási szögekről

Reshetnyak ragasztási tétele – lehetővé teszi CAT(k) terek létrehozását CAT(k) terek konvex halmazokra történő ragasztásával.

A Reshetnyak majorizációs tétel kényelmes ekvivalens definíciót ad a CAT(k) terekre.

A CAT(k) terekre vonatkozó globalizációs tétel a Hadamard-Cartan tétel általánosítása .

A CBB(k) terekre vonatkozó globalizációs tétel Toponogov összehasonlítási tételének általánosítása .

Jegyzetek

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (német) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Konvex felületek belső geometriája. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Alexandrov A. D. Egy tétel háromszögekről metrikus térben és néhány alkalmazása // Tr. MIAN Szovjetunió. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (Orosz)
↑ Busemann, Herbert Nem pozitív görbületű terek. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Alekszandrov-terek görbületekkel lent // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , 2. szám (284) . - S. 3-51 . (Orosz)

Irodalom

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrikus geometria tanfolyam. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
5. előadás, Alekszandrov geometriája
Szergej Ivanov . Metrikus geometria és Alexandrov-terek . Lectorium ( 10.02.11 ). (határozatlan)
Szergej Ivanov . Alexandrov-terek geometriája . Lectorium (04.07.17). (határozatlan)
Anton Petrunin, Alexander geometria videó előadások
Sándor, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Meghívás Alexandrov geometriára: CAT[0] terek, arΧiv : 1701.03483 [math.DG].