Hiperbolicitás Gromov értelmében

A hiperbolicitás Gromov vagy -hiperbolicitás értelmében a metrikus tér globális jellemzője , durván szólva a görbület negativitásához hasonlít; különösen a Lobacsevszkij tér hiperbolikus Gromov értelmében. $\delta$

A Gromov-féle értelemben vett hiperbolicitást főként a geometriai csoportelméletben alkalmazzák . Kényelmes geometriai értelmezést ad kis számára

Definíció

Egy szóköz -hiperbolikus , ha bármely pontra vonatkozik $x$ $\delta$ $x,y,z\X-ben$

(x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,

ahol Gromov szorzatát jelöli : $(x,y)_{p}$

(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|xy|_{X}+|xz|_{X}-|yz|_{X }{\nagy )}.

Az utolsó egyenlőtlenség egyenértékű

|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+|qx |_{X}\}+2\cdot \delta

bármely pontért . $p,q,x,y\in X$

Sok más definíció is létezik (néha többszörösen változó). Például a következő: ha a tér geodéziai , akkor ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy a tér bármely x, y, z pontja esetén a geodéziai [xy] szegmens az unió -szomszédságában van. [xz] és [yz]. Más szavakkal, a legrövidebb [xy]-n van egy t pont úgy, hogy [xt] az [xz] -szomszédságában, a [ty] pedig a [zy] -szomszédságában található. $\delta$ $x$ $\delta$ $\delta$ $\delta$

Tulajdonságok

A hiperbolicitás a kváziizometrikus transzformációk invariánsa. Emiatt a csoport hiperbolicitása nem függ a szókincs metrika meghatározásához használt generátorrendszer megválasztásától .
Ha egy szóköz izometrikus másolatot tartalmaz , az nem lehet hiperbolikus. Különösen a derékszögű termék szinte soha $\mathbb {R} ^{2}$ [ pontosítás ] nem lehet hiperbolikus.
A -hiperbolikus tér injektív burka -hiperbolikus. [egy] $\delta$ $\delta$
- Konkrétan bármely -hiperbolikus tér izometrikus a geodéziai -hiperbolikus tér egy részhalmazához . $\delta$ $\delta$

Példák

Minden kompakt tér hiperbolikus.
Bármely fa 0-hiperbolikus tér.
A Lobacsevszkij -sík Gromov értelmében hiperbolikus. Feltételezve, hogy a görbület egyenlő a Lobacsevszkij-síkkal, -hiperbolikus (a négypontos definíció értelmében). $-egy$ $\ln(2)$
- Ráadásul minden tér hiperbolikus. $\mathrm {CAT} (-1)$ $\ln(2)$

Jegyzetek

↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Fák és szűk fesztávok metrikus stabilitása // Arch . Math. (Bázel). - 2013. - Kt. 101 , sz. 1 . — P. 91–100 .

Linkek

P. de la Harp, E. Gies, Hiperbolikus csoportok Mikhail Gromov szerint

Mihail Gromov, Hiperbolikus csoportok. Csoportelméleti esszék, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.