Szókincs mérőszáma a csoporton

A szótári metrika egy módszer a távolságok beállítására egy végesen generált csoporton .

Építkezés

Ha egy véges generátorrendszert választunk ki és rögzítünk egy véges generált csoportban , akkor a és az elemek közötti távolság a legkisebb számú generátor és azok inverzei, amelyek szorzatára a hányadost felbontjuk . $F$ $\Gamma$ $g$ $h$ $g^{-1}h$

Tulajdonságok

A szókincs metrikája bal-invariáns; vagyis a bal oldali szorzással megőrzi a csoport egy rögzített elemével.
- A nem-abeli csoportok esetében általában véve nem jobb-invariáns.
A szókincs metrikája megegyezik a Cayley-gráf távolságával ugyanazon generátorrendszer esetében.
A szókincs metrika a generátorok rendszerének megváltoztatásakor nem marad meg, hanem kváziizometrikusan változik (ebben az esetben megegyezik a bi- Lipschitz - módszerrel). Vagyis néhány állandó esetében : $C_{1}, C_{2}$ $\forall g,h\in G\quad {\frac {1}{C_{1}}}d_{2}(g,h)\leq d_{1}(g,h)\leq C_{ 2}d_{2}(g,h).$ .

Ez különösen lehetővé teszi, hogy geometriai fogalmakat alkalmazzunk a csoportra a szókincs metrikájával, amelyeket kváziizometria alatt őriznek meg. Például beszélni a csoportnövekedés mértékéről (polinomiális, exponenciális, köztes) és annak hiperbolicitásáról .

Változatok és általánosítások

Hasonló módon tetszőleges (nem feltétlenül véges generált) csoportra építhető egy szókincs metrika, ilyenkor végtelen generátorrendszert kell venni, és a leírt tulajdonságok közül sok megszűnik.

Linkek

JW Cannon, Geometric group theory, Handbook of Geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amszterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4