Gromov műve

A Gromov-szorzat az a távolság, amelynél két , egy pontból kiinduló geodetikus kezd jelentősen eltérni.

Gromovról nevezték el .

A Gromov-szorzatot különösen a metrikus tér abszolút határán lévő metrika meghatározására használják.

Definíció

Legyen a metrikus tér alappontja rögzített . Ekkor a pontok Gromov-szorzata (a ponthoz képest ) és ez a tér az érték $x\X-ben$ ${\megjelenítési stílus (X,d)}$ $x$ $y$ $z$

{\megjelenítési stílus (y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).}

Tulajdonságok

A Gromov termék nem negatív és szimmetrikus: $\forall x,y,z\in X\quad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},\quad (y,z)_{x}\geq 0.$
A fa esetében a geodéziai utak egyező részének hossza és . ${\megjelenítési stílus (y,z)_{x}}$ $[xy]$ $[xz]$
A -hiperbolikus terekre az egyenlőtlenség érvényes. $\delta$ ${\megjelenítési stílus (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}$

Irodalom

E. Gies, P. De la Arp. Hiperbolikus csoportok Mihail Gromov szerint. - M .: Mir, 1992.