A geometriai csoportelmélet a matematikának egy olyan ága , amely véges generált csoportokat vizsgál, felhasználva az algebrai tulajdonságaik és azon terek topológiai és geometriai tulajdonságai közötti összefüggéseket, amelyeken ezek a csoportok hatnak, vagy maguk a csoportok, amelyeket geometriai objektumnak tekintenek (amit általában figyelembe véve a Cayley-gráfot és a megfelelő szókincs-metrikákat ).
A geometriai csoportelmélet, mint a matematika külön ága, viszonylag nemrég jelent meg, és az 1980-as évek végén és az 1990-es évek elején kezdett egyértelműen kiemelkedni. A geometriai csoportelmélet kölcsönhatásba lép az alacsony dimenziós topológiával , a hiperbolikus geometriával , az algebrai topológiával és a számítási csoportelmélettel . A komplexitáselmélettel , a matematikai logikával , a Lie-csoportok és diszkrét alcsoportjaik tanulmányozásával , a dinamikai rendszerekkel , a valószínűségszámítással , a K-elmélettel és a matematika egyéb területeivel is kapcsolatban áll.
Gromov tételét a polinomiális növekedés csoportjairól kell tekinteni a geometriai csoportelmélet első eredményének . A bizonyítás először alkalmazza az úgynevezett Gromov-Hausdorff konvergenciát .
Mindazonáltal a fő lépést a csoportok geometriai elméletének kialakításában Gromov hiperbolikus csoportokról szóló tanulmányában tette meg. [1] A cikkben szereplő hiperbolikus csoport definíciója a csoportelmélet világos geometriai értelmezését adta kis törlésekkel .