Metrikus tér

A metrikus tér olyan halmaz , amelyben bármely elempár között távolság van meghatározva .

Definíciók

A metrikus tér egy pár , ahol egy halmaz, és egy numerikus függvény, amely a derékszögű szorzaton van definiálva , értéket vesz fel a nem negatív valós számok halmazában, és olyan, hogy $(X,\;d)$ $x$ $d$ $X\xx$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( identitás axiómája ).
$d(x,y)=d(y,x)$ ( szimmetria-axióma ).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( háromszög axióma vagy háromszög egyenlőtlenség ).

Ahol

a halmazt a metrikus tér mögöttes halmazának nevezzük . $x$
a halmaz elemeit a metrikus tér pontjainak nevezzük . $x$
a függvényt metrikának nevezzük . $d$

Jegyzetek

Az axiómákból következik, hogy a távolságfüggvény nem negatív, hiszen $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Ha a háromszög egyenlőtlenséget úgy ábrázoljuk $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ mindenkinek , és _ $x$ $y$ $z$

akkor az azonosság axiómájából és a háromszög egyenlőtlenségből következik a szimmetriaxióma.

Ezek a feltételek intuitív elképzeléseket fejeznek ki a távolság fogalmáról, ezért távolság-axiómáknak nevezik őket . [1] Például, hogy a különböző pontok közötti távolság pozitív, és a távolság -tól megegyezik a -tól -ig terjedő távolsággal . A háromszög-egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a távolság -tól -ig nem kisebb, mint egyenes -tól -ig . $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $z$ $y$ $x$ $z$

Jelölés

A pontok közötti távolságot és a metrikus térben általában vagy jelöli . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$ $\rho (x,y)$

A metrikus geometriában a vagy jelölést fogadjuk el , ha hangsúlyozni kell, hogy ról van szó . A és a szimbólumokat is használják (annak ellenére, hogy a pontok kifejezésének nincs értelme ). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $M$ $|xy|$ $|xy|_{M}$ $xy$ $x$ $y$
A klasszikus geometriában a vagy jelölések elfogadottak (a pontokat általában latin nagybetűkkel jelölik). $XY$ $|XY|$

Kapcsolódó definíciók

A különböző metrikus terek közötti bijekciót , amely megőrzi a távolságokat, izometriának nevezzük ; ${\megjelenítési stílus (X,d_{X})}$ $(Y,d_{Y})$
- Ebben az esetben a és tereket
izometrikusnak nevezzük . ${\megjelenítési stílus (X,d_{X})}$ $(Y,d_{Y})$

Ha , és -re , akkor azt mondjuk, hogy a következőhöz konvergál : [2] .

x_{n}\in X

x\X-ben

d(x_{n},x)\to 0

n\to\infty

{\displaystyle x_{n))

x

x_{n}\to x

Ha a halmaz egy részhalmaza , akkor a metrika halmazra való korlátozását figyelembe véve egy metrikus teret kaphatunk , amelyet a tér alterének nevezünk .

M

x

{\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M))

d_{X}

M

{\megjelenítési stílus (M,d_{M})}

{\megjelenítési stílus (X,d)}

Egy metrikus teret akkor nevezünk teljesnek , ha bármely alapvető sorozat ennek a térnek valamely eleméhez konvergál.

Az on metrikát belsőnek nevezzük, ha bármely két pont és in összekapcsolható egy görbével, amelynek hossza tetszőlegesen közel van -hez . $d$ $M$ $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
- Egy teret geodéziainak nevezünk, ha bármely két pont és in összeköthető egy görbével, amelynek hossza egyenlő . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
Bármely metrikus térnek természetes topológiája van , amely nyitott golyók halmazán , azaz a következő típusú halmazokon alapul:

B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},

ahol egy pont és egy pozitív valós szám, amelyet a labda sugarának neveznek. Más szóval, egy halmaz nyitott, ha bármely pontjával együtt egy nyitott labdát tartalmaz, amelynek középpontja az adott pont.

x

M

r

O

Két metrikát, amelyek ugyanazt a topológiát határozzák meg , egyenértékűnek mondják .
Az így nyerhető topológiai teret metrizálhatónak mondjuk .
Egy pont és egy részhalmaz távolságát a következő képlet határozza meg: $d(x,S)$ $x$ $S$ $M$

{\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\))

. Ezután csak akkor, ha a lezáráshoz tartozik .

d(x,S)=0

x

S

Példák

Diszkrét metrika :, ha, ésminden más esetben. $d(x,y)=0$ $x=y$ $d(x,y)=1$
A távolságfüggvényű valós számok és az euklideszi tér teljes metrikus terek. $d(x,\;y)=|yx|$
A várostömbök távolsága : , ahol , vektorok. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i }-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\pontok ,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$
Legyen a folytonos és korlátos leképezések tere topológiai térből metrikus térbe . A távolság két leképezés között és ettől a tértől a következőképpen van meghatározva $F(X,Y)$ $x$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\kettőspont x\in X \}$ .

A leképezések konvergenciája ehhez a mérőszámhoz képest megegyezik a teljes térben való egyenletes konvergenciájukkal .

x

Abban a konkrét esetben, amikor egy kompakt tér és egy valós egyenes, akkor megkapjuk az összes folytonos függvények terét egy téren az egyenletes konvergencia metrikájával.

x

Y

C(X)

x

Legyen , , a függvények terei az intervallumon , rendre Lebesgue integrálható, Riemann integrálható és folytonos. Ezekben a távolság a következő képlettel határozható meg: $L([a,b])$ $R([a,b])$ $C([a,b])$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

Ahhoz, hogy ez a függvény metrikává váljon, az első két térben olyan függvényeket kell azonosítani, amelyek különböznek a 0 mértékhalmazon . Ellenkező esetben ez a függvény csak félmetrikus lesz. (Az intervallumon folytonos függvények terében a 0 mértékhalmazon eltérő függvények amúgy is egybeesnek.)

A folyamatosan differenciálható függvények időterében a mérőszámot a következő képlet vezeti be: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{ 1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

ahol az egyenletes konvergencia mutatója (lásd fent).

d_{0}

C([a,b])

A távolságfüggvény definiálásával bármely normált tér metrikussá alakítható $d(x,y)=\|yx\|$ .
- Az ilyen típusú véges dimenziós tereket Minkowski -tereknek nevezzük ;
- Kettővel egyenlő méret esetén a Minkowski-sík .

Ha egy ( lokálisan konvex ) topológiai vektorteret meghatározó szeminormák sorozata , akkor ${\displaystyle (p_{n})_{n\in N))$ $E$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}{\frac {p_{n}(xy)}{ 1+p_{n}(xy)}}

egy metrika, amely ugyanazt a topológiát határozza meg . ( Tetszőleges , szigorúan pozitív számok összegzhető sorozatával helyettesíthető .)

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n))))

(a_{n})

Bármely összekapcsolt Riemann-sokaság metrikus térré alakítható, ha a távolságot a pontpárt összekötő utak hosszának legkisebb értékének definiáljuk. $M$

Bármely összefüggő gráf csúcsainak halmaza metrikus térré alakítható, ha a távolságot a csúcsokat összekötő útvonal minimális élszámaként határozzuk meg. Általánosabban fogalmazva, ha a gráf minden éléhez pozitív szám (élhossz) van hozzárendelve, akkor a csúcsok közötti távolság az egyik csúcstól a másikig tartó tetszőleges útvonal mentén az élhosszak minimális összegeként definiálható. $G$
- Az előző példa speciális esete az úgynevezett francia vasúti mérőszám , amelyet gyakran hivatkoznak egy olyan mérőszámra, amelyet nem a norma generál .
A grafikonszerkesztési távolság határozza meg a grafikonok közötti távolságfüggvényt .

Hamming távolság a kódoláselméletben.
A soron belüli metrikák , mint például a Levenshtein távolság és más szövegszerkesztési távolságok határozzák meg a vonalak feletti távolságot.

Bármely metrikus tér kompakt részhalmazai metrikus térré tehetők, ha a távolságot az úgynevezett Hausdorff-metrikával határozzuk meg . Ebben a metrikában két részhalmaz közel van egymáshoz, ha az egyik halmaz bármely pontjára lehetséges egy közeli pontot találni a másik részhalmazban. Íme a pontos meghatározás: $K(M)$ $M$

D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{mátrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x, y)<r\\\all y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r\end{mátrix}}\right.\right\}

Az összes kompakt metrikus terek halmaza ( izometriáig ) metrikus térré alakítható, ha a távolságot az úgynevezett Gromov-Hausdorff metrikával határozzuk meg .
A Waserstein-metrika két valószínűségi eloszlás közötti távolságot határozza meg .

Konstrukciók

A metrikus terek derékszögű szorzata sokféleképpen felruházható egy metrikus tér szerkezetével, például:
1. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2} )+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1}, x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1}, x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Ezek a mutatók egyenértékűek egymással.

Tulajdonságok

Egy metrikus tér akkor és csak akkor kompakt , ha tetszőleges pontsorozatból lehetséges konvergens részsorozatot választani (szekvenciális tömörség).
Előfordulhat, hogy a metrikus térnek nincs megszámlálható bázisa , de mindig kielégíti a megszámlálhatóság első axiómáját – minden pontban van megszámlálható bázisa.
- Sőt, minden metrikus térben található kompakt készletnek megszámlálható szomszédsági bázisa van.
- Sőt, minden metrikus térben van olyan bázis, hogy a tér minden pontja csak elemeinek megszámlálható halmazához tartozik - egy pontszámlálható bázishoz (de ez a tulajdonság még parakompaktság és Hausdorffness jelenlétében is gyengébb a metrizálhatóságnál ).
a rövid leképezésű metrikus terek egy kategóriát alkotnak , általában Met -nek jelölik .

Változatok és általánosítások

Egy adott halmaz esetén egy függvényt pszeudometrikusnak vagy szemimetrikusnak nevezünk , ha bármely pontja megfelel a következő feltételeknek : $M$ $d\colon M\time M\ to \mathbb{R}$ $M$ $x,\;y,\;z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ ( szimmetria );
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( háromszög egyenlőtlenség ).

Vagyis a metrikától eltérően a különböző pontok nulla távolságra lehetnek. A pszeudometria természetesen meghatároz egy metrikát a hányadostéren , ahol .

M

{\displaystyle M/{\sim ))

x\sim y\iff d(x,y)=0

Egy adott halmaz esetén egy függvényt kvázimetrikának nevezünk , ha bármely pontra , , teljesíti a következő feltételeket: $M$ $d\colon M\time M\ to \mathbb{R}$ $x$ $y$ $z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( kvázi-szimmetria );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (általánosított háromszög egyenlőtlenség).
Egy tér metrikáját ultrametrikusnak nevezzük, ha kielégíti az erős háromszög egyenlőtlenséget : Mindenkinek , és . _ $x$ $y$ $z$ $M$ $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

Néha célszerű figyelembe venni -metrics , azaz értékekkel rendelkező mérőszámokat . Bármely -metrikához létre lehet hozni egy véges metrikát, amely ugyanazt a topológiát határozza meg. Például, $\infty$ $[0;\infty ]$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)))$ vagy $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

Ezenkívül egy ilyen tér bármely pontjára a tőle véges távolságra lévő pontok halmaza egy közönséges metrikus teret alkot, amelyet metrikus komponensnek neveznek . Konkrétan minden -metrikus teret tekinthetünk közönséges metrikus terek halmazának, és a különböző terekben lévő bármely pontpár közötti távolság definiálható .

x

x

\infty

\infty

Néha a kvázimetrikát olyan függvényként határozzák meg, amely kielégíti egy metrika összes axiómáját, a szimmetria kivételével [3] [4] . Ennek az általánosításnak a neve még nem teljesen kidolgozott [5] . Smith [4] könyvében „szemimetriának” nevezi őket. Ugyanezt a kifejezést gyakran használják a metrikák két másik általánosítására is.
1. $d(x,y)\geqslant 0$ ( pozitívum )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( pozitív határozottság )
3. d ( x , y ) = d ( y , x )( a szimmetria áthúzva)
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( háromszög egyenlőtlenség )

A kvázimetrikák példáival a való életben is találkozhatunk. Például egy hegyi falvak halmaza esetén az elemek közötti gyaloglási idő kvázi metrikát képez, mivel a felfelé haladás tovább tart, mint a lefelé járás. Egy másik példa az egyirányú utcákkal rendelkező várostömbök topológiája, ahol a ponttól pontig tartó út eltérő utcakészletből áll, mint a tól ig tartó út .

x

x

A

B

B

A

A metametriában a metrika összes axiómája érvényes, kivéve, hogy az azonos pontok közötti távolság nem feltétlenül nulla. Más szavakkal, a metametriák axiómái a következők:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. ebből következik (de nem fordítva.) $d(x,y)=0$ $x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

A metametria megjelenik a Gromov-féle hiperbolikus metrikus terek és határaik vizsgálatában. Az ilyen téren lévő vizuális metametria kielégíti a határon lévő pontok egyenlőségét , de egyébként megközelítőleg egyenlő a határtól való távolsággal . A metametriát először Jussi Väisälä határozta meg [6] .

d(x,x)=0

x

d(x,x)

x

Az utolsó három axióma gyengülése egy premetrika fogalmához vezet , vagyis egy olyan függvényhez, amely kielégíti a feltételeket:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,x)=0$

A kifejezés nem ülte meg, néha más metrikák általánosítására is használják, mint például a pszeudoszemimetria [7] vagy a pszeudometrika [8] . Az orosz nyelvű irodalomban (és az orosz fordításokban) ez a kifejezés néha "prametrikus"-ként jelenik meg [9] [10] . Bármely premetrika a következő módon vezet topológiához. Pozitív valós golyó esetén egy pontban középre állított -golyót a következőképpen határozzuk meg

r

r

p

B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}

. Egy halmazt nyitottnak nevezünk, ha a halmaz bármely pontjához létezik egy középpontú -golyó, amely a halmazban található. Bármely premetrikus tér topologikus tér, és valójában szekvenciális tér . Általában maguknak a -golyóknak nem kell nyílt halmazoknak lenniük ennek a topológiának megfelelően. Ami a mérőszámokat illeti, a két és halmaz közötti távolság a következőképpen van meghatározva

p

r

p

r

A

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Ez meghatároz egy premetrikot a premetrikus tér logikai értékén. Ha egy (pszeudo-fél)metrikus térrel kezdünk, akkor egy ál-félmetrikát, azaz szimmetrikus premetrikot kapunk. Bármilyen premetrikus elvezetés az előzáró operátorhoz :

\operátornév {cl}

{\displaystyle \operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\))

Az ál- , kvázi- és fél - előtagok kombinálhatók, például az álkvazimetrikus (néha hemimetrikusnak is nevezik ) gyengíti mind a megkülönböztethetetlenségi axiómát, mind a szimmetria-axiómát, és egyszerűen egy premetrika, amely kielégíti a háromszög-egyenlőtlenséget. Az álkvazimetrikus terek esetében a nyílt golyók képezik a nyílt halmazok alapját. A pszeudokvazimetrikus tér legegyszerűbb példája egy olyan halmaz , amelynek premetrikája olyan függvény által adott , hogy és . A kapcsolódó topológiai tér a Sierpinski tér . $r$ $\{0,1\}$ $d$ $d(0,1)=1$ $d(1,0)=0$

A kiterjesztett pszeudokvazimetriával felszerelt halmazokat William Lover "általánosított metrikus terekként" tanulmányozta [11] [12] . Kategorikus szempontból a kiterjesztett pszeudometrikus terek és a kiterjesztett pszeudokvazimetrikus terek a hozzájuk tartozó nem bővülő leképezésekkel együtt teljesítenek a legjobban a metrikus terek kategóriáiban. Tetszőleges szorzatokat és társtermékeket vehetünk, és egy adott kategóriával hányados objektumot alkothatunk . Ha kihagyjuk a "kiterjesztett" szót, akkor csak véges termékeket és társtermékeket vehetünk fel. Ha a "pszeudo" ki van hagyva, a faktorobjektumok nem szerezhetők be. A megközelítési terek olyan metrikus terek általánosítása, amelyek figyelembe veszik ezeket a jó kategorikus tulajdonságokat.

Lineáris teret lineáris metrikus térnek nevezünk, ha az elemei közötti távolság adott, és az algebrai műveletek a metrikájában folytonosak, azaz [2] : $V(F)$
1. $x_{n}\to x,y_{n}\to y\Jobbra x_{n}+y_{n}\to x+y$
2. $x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$
- Példa: Az összes összetett sorozat lineáris tere átalakítható lineáris metrikus térré, ha bevezetjük az elemei közötti távolságot a képlet segítségével: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i))}{\frac {|x_{i}-y_{i }|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

A hipermetrikus tér olyan metrikus tér, amelyben hipermetrikus egyenlőtlenségek érvényesülnek. vagyis $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

minden olyan pontra és egész számra , hogy . [13]

x_1,\pontok,x_n

{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))

\sum b_{i}=1

Vegye figyelembe, hogy és esetén a hipermetrikus egyenlőtlenség a szokásos háromszög-egyenlőtlenséggé válik $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Példa hipermetrikus térre: -space . $\ell _{1}$

Történelem

Maurice Fréchet először a függvényterek figyelembevétele kapcsán vezette be a metrikus tér fogalmát [14] .

Jegyzetek

↑ Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés. II köt. - M., Felsőiskola , 1970. - p. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Funkcionális elemzés. - M., Nauka , 1972. - p. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , p. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , p. 187–231.
↑ Buldygin, Kozachenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , p. harminc.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , p. 1–37.
↑ Vickers, 2005 , p. 328–356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Vágások és metrikák geometriája, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. – Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1906. - 22. - pp. 1-74.

Irodalom

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. A metrikus geometria tanfolyama. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasziljev N. Metrikus terek . — Kvantum . - 1990. - 1. sz.
Vasziljev N. Metrikus terek . — Kvantum . - 1970. - 10. sz.
Skvortsov V. A. Példák metrikus terekre // Mathematical Education Library Archivált : 2014. január 12. a Wayback Machine -nél . - 2001. - 9. szám.
Schreider Yu. A. Mi a távolság? // " Népszerű matematikai előadások ". - M . : Fizmatgiz, 1963 - 38. szám. - 76 p.
Lawvere, F. William (2002), Metrikus terek, általánosított logika és zárt kategóriák , Reprints in Theory and Applications of Categories (1. sz.): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articles/1/tr1.pdf > ; újranyomtatva Lawvere, F. William (1973) megjegyzéseivel, Metrikus terek, általánosított logika és zárt kategóriák , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF029248444
Ruben Aldrovandi, JG Pereira. Bevezetés a geometriai fizikába ] . - Szingapúr: World Scientific, 1995. - 699 p. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Funkcionális elemzés és szabályozás elmélet: Lineáris rendszerek , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Kvázi egységességek: tartományok egyeztetése metrikus terekkel , Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics , vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, p. 236-253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur és Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces , Expositiones Mathematicae vol. 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~jvaisala/ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Generalizált metrikus terek lokális kiegészítése, I , Theory and Applications of Categories 14. kötet (15): 328–356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Archiválva : 2021. április 26. a Wayback Machine -nél
Arkhangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. A tudomány és a technológia eredményei. A matematika modern problémái. alapvető irányok. 17. évfolyam - VINITI , 1988. - 232 p.
Buldygin VV, Kozachenko Yu. V. Valószínűségi változók és folyamatok metrikus jellemzői. - K. : TViMS, 1998. - 290 p.
Helemsky A. Ya. Előadások a funkcionális elemzésről . - Moszkva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Orosz)

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Metrikus tér , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Távol és közel – számos példa a távolságfüggvényekre a csomópontnál .