Waserstein metrika

A Vaserstein-metrika a metrikus térben lévő valószínűségi mértékek terének természetes metrikája .

Intuitív módon, ha minden mérőszám a "talaj" eloszlását méri az M metrikus térben , akkor a Waserstein-távolság méri az egyik talajeloszlás másikká alakításának minimális költségét , a legegyszerűbb esetben feltételezzük, hogy a költség egyenesen arányos a talajeloszlás mértékével. a talaj mennyiségét és azt a távolságot, amelyen át kell húzni.

A "Vaserstein-metrika" elnevezést Dobruszin javasolta 1970 -ben, Leonyid Vaserstein ( született Leonid Vaseršteĭn ) tiszteletére, aki 1969-ben ezt tekintette.

Definíció

Legyen ( M , d ) egy metrikus tér , amelyre M -en minden valószínűségi mérték Radon-mérték .

Ha p ≥ 1, jelölje P p ( M ) az összes μ valószínűségi mérték halmazát M -en véges p - edik nyomatékkal : vagyis az M - beli valamelyik (és így bármely) x 0 pontra azt kapjuk, hogy

\int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .

Ekkor a p -edik Vaserstein-metrika W p ( μ , ν ) két μ és ν valószínűségi mérték között a P p ( M ) értékben:

W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x, y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\jobbra)^{1/p},

ahol Γ( μ , ν ) az M × M feletti összes mérték halmazát jelöli μ és ν marginális (részleges) eloszlással az első és a második paraméterre vonatkozóan. (A Γ( μ , ν ) mértékhalmazt μ és ν összes párosításának halmazának is nevezzük .)

Tulajdonságok

Ebben a mérőszámban a konvergencia megegyezik az intézkedések gyenge konvergenciájával, plusz az első p - edik pillanat konvergenciájával. $W_{p}$

A W 1 kettős definíciója a Kantorovich -Rubinshtein dualitástétel (1958) sajátos esete : ha μ és ν korlátos támasztékkal rendelkezik , akkor $W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right \},$

ahol a szuprémum minden 1 - Lipschitz f függvényt átvesz .

Bármely p ≥ 1 esetén egy metrikus tér ( P p ( M ), W p ) elválasztható és teljes , ha ( M , d ) elválasztható és teljes [1] .

Lásd még

Szállítási feladat

Jegyzetek

↑ Bogacsov, VI; Kolesnikov, AV A Monge-Kantorovich probléma: eredmények, kapcsolatok és perspektívák // Advances in Mathematical Sciences . - RAS . — Vol. 67 . - P. 785-890 . - doi : 10.1070/RM2012v067n05ABEH004808 .

Irodalom

Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Ottó, Félix . A Fokker-Planck egyenlet variációs megfogalmazása // SIAM J. Math. Anális. : folyóirat. - 1998. - Vol. 29 , sz. 1 . - P. 1-17 (elektronikus) . — ISSN 0036-1410 . - doi : 10.1137/S0036141096303359 .
Rüschendorf, L. (2001), "Wasserstein metrika" , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4