Radon mérés

A Radon mértéke a Borel-halmazok szigma -algebrájának mértéke egy X Hausdorff topológiai téren , amely lokálisan véges és belsőleg szabályos.

Definíció

Legyen μ mértékegység a Borel-halmazok szigma-algebráján egy X Hausdorff topológiai térben .

Egy μ mértéket belsőleg szabályosnak mondunk , ha bármely B Borel - halmaz esetén μ ( B ) megegyezik a B kompakt K részhalmazainak μ ( K ) szuprémumával .

Egy μ mértéket külső szabályosnak mondunk , ha bármely B Borel-halmaz esetén μ ( B ) a μ ( U ) infimuma az összes B -t tartalmazó U nyitott halmazra .

Egy μ mértéket lokálisan végesnek mondjuk , ha X minden pontjában van egy U környék , amelyre a μ ( U ) érték véges. (Ha μ lokálisan véges, akkor μ véges kompakt halmazokon.)

A μ mértéket Radon mértéknek nevezzük , ha belsőleg szabályos és lokálisan véges.

Megjegyzés

A definíció általánosítható nem Hausdorff terekre, ha a "kompakt" szavakat mindenhol a "zárt és kompakt" szavakkal helyettesítjük, de ennek az általánosításnak még nincs alkalmazása.

Példák

Példák a radon mérésére:

Lebesgue-mérték az euklideszi téren (Borel-részhalmazokra korlátozva);
Haar -mérés bármely lokálisan kompakt topológiai csoporton;
Dirac mérték bármely topológiai téren;
Gauss-mértékek egy euklideszi téren a Borel-szigma-algebrával; $\mathbb {R} ^{n}$
Valószínűségi mértékek bármely lengyel tér Borel-halmazainak σ-algebráján . Ez a példa nem csak általánosítja az előző példát, hanem számos mértéket tartalmaz lokálisan kompakt tereken, például a Wiener-mértéket a valós folytonos függvények terén a [0,1] intervallumon.

A következő intézkedések nem radonmérések:

Az euklideszi tér számláló mértéke nem Radon mérték, mivel lokálisan nem véges.
Az ordinálisok tere az első megszámlálhatatlan sorrendi topológiájú sorszámig egy kompakt topológiai tér . Az a mérték, amely bármely megszámlálhatatlan zárt halmazt tartalmazó halmazon 1, egyébként pedig 0, Borel-mérték, de nem Radon-mérték.
Legyen X a nyíl topológiával ellátott [0,1) halmaz . A Lebesgue-mérték ezen a topológiai téren nem Radon-mérték, mivel nem belső szabályos. Ez utóbbi abból következik, hogy ebben a topológiában a kompakt halmazok legfeljebb megszámlálhatók.
Egy szorzat standard mértéke megszámlálhatatlannal nem Radon mérték , mivel bármely kompakt halmaz megszámlálhatatlan számú zárt intervallum szorzatában található, amelyek mindegyike kisebb, mint 1. $(0,1)^{\kappa }$ $\kappa$

Tulajdonságok

A következőkben X egy lokálisan kompakt topológiai teret jelöl , μ a Radon mértékét . $x$

A μ mérték egy lineáris függvényt definiál az X -en lévő összes véges függvények terén , azaz kompakt támogatású folytonos függvényeket: $I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu$

Továbbá:

Ez a funkció magát a mértéket teljesen meghatározza.
Ez a funkció folyamatos és pozitív. A pozitív azt jelenti, hogy ha . $I(f)\geqslant 0$ $f\geqslant 0$

Radon metrika

Az összes Radonmérték kúpja megadható egy teljes metrikus tér szerkezetével . A két radonmérés közötti távolság a következőképpen definiálható: $x$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$

\rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}- \mu _{2})(x)\jobbra\},

ahol a szuprémum minden folytonos funkciót átvesz $f\colon X\to [-1,1]$

Ezt a mérőszámot Radon mérőszámnak nevezik . A Radon-metrika mértékeinek konvergenciáját néha erős konvergenciának nevezik .

A radon valószínűségi tere -on , $x$

{\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},

nem szekvenciálisan kompakt ehhez a mérőszámhoz képest, vagyis nem garantált, hogy bármely valószínűségi mértéksorozatnak lesz egy konvergáló részsorozata.

A radon metrika konvergenciája az intézkedések gyenge konvergenciáját jelenti:

\rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu

Ennek a fordítottja általában nem igaz.

Integráció

Az integrál meghatározása a funkciók szélesebb osztályához (nem feltétlenül kompakt támogatással) több lépésben történik:

A g alsó félfolytonos pozitív (valós) függvények μ*(g) felső integrálja a μ ( h ) pozitív számok felsőbbsége (esetleg végtelen) h ≤ g véges folytonos függvényekre .
A μ*( f ) felső integrál egy tetszőleges pozitív valós értékű f függvényhez a g ≥ f alsó félfolytonos függvények μ*(g) felső integráljainak infimumaként van definiálva .
Az F = F ( Х ; μ ) vektorteret úgy definiáljuk, mint az összes olyan f függvény tere X-en, amelyre a μ*(|f|) felső integrál véges; Az abszolút értékű felső integrál egy szeminormát határoz meg F -en, F pedig egy teljes tér a szeminorma által meghatározott topológiához képest.
Az integrálható függvények L 1 ( X , μ ) terét a folytonos véges függvények terének F - beli lezárásaként definiáljuk.
Az L 1 ( X , μ ) függvények integrálját a folytonossági kiterjesztéssel határozzuk meg (miután ellenőriztük, hogy μ folytonos-e az L 1 topológiájához képest ( X , μ )).
A halmaz mértéke a halmaz indikátorának függvényének integrálja (ha létezik) .

Látható, hogy ezek a műveletek egy olyan elméletet eredményeznek, amely megegyezik a Radon-mértékkel kezdődő elmélettel, amely függvényként definiálható, amely minden X -beli Borel-halmazhoz egy számot rendel .

Irodalom

Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 .
Dieudonné, Jean (1970), Traktátus az elemzésről , vol. 2 Akadémiai Kiadó
Hewitt, Edwin és Stromberg, Karl (1965), Valós és absztrakt elemzés , Springer-Verlag .
König, Heinz (1997), Mérés és integráció: haladó tanfolyam az alapvető eljárásokról és alkalmazásokról , New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Radon mérések tetszőleges topológiai tereken és hengeres mértékeken , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Linkek

R.A. Minlos (2001), Radon mértéke , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4