Diszkrét tér

A diszkrét tér az általános topológiában és a matematika kapcsolódó területein olyan tér, amelyben minden pont valamilyen értelemben el van szigetelve egymástól.

Definíciók

Legyen valamilyen halmaz , és legyen az összes részhalmazának családja . Ezután ezen a halmazon van egy topológia , amelyet diszkrét topológiának neveznek, és ezt a párt diszkrét topológiai térnek nevezik . $x$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $(X,{\mathcal {T))$
Legyen egy metrikus tér , ahol a metrika a következőképpen van meghatározva: $(X,\rho )$ $\rho$

\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.

Ekkor diszkrét metrikának nevezzük , az egész teret pedig diszkrét metrikus térnek . $\rho$

Megjegyzés

A diszkrét metrika által indukált topológia diszkrét. A fordítottja hamis. Egy nem diszkrét metrika diszkrét topológiát generálhat.

Példák

Legyen hol , és legyen egy diszkrét mérőszám a -n . Ezután egy diszkrét metrika és következésképpen topológiai tér. $X=\{1,\ldots ,n\},$ $n\in \mathbb {N}$ $\rho$ $x$ $(X,\rho)$
Legyen ez a metrika nem diszkrét, de diszkrét topológiát generál . $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\rho (x,y)=|xy|.$

Tulajdonságok

Egy topológiai tér akkor és csak akkor diszkrét, ha minden egypontos részhalmaza nyitott .
A diszkrét topológiai tér minden egypontos részhalmaza egy diszkrét topológia alapját képezi .
Egy diszkrét topológiai tér akkor és csak akkor kompakt , ha véges .
A diszkrét metrikus tér korlátos .
Bármely két diszkrét topológiai tér, amelyeknek azonos a kardinalitása , homeomorf .
Bármely diszkrét topológiai térben meghatározott függvény folytonos .
Az euklideszi tér diszkrét részhalmaza legfeljebb megszámlálható . Ennek fordítva általában nem igaz.

Lásd még

Triviális topológia .