Hausdorff metrika

A Hausdorff-metrika egy természetes metrika, amely a metrikatér összes nem üres kompakt részhalmazán van definiálva . Így a Hausdorff-metrika egy metrikus tér összes nem üres kompakt részhalmazát metrikus térré alakítja.

Nyilvánvalóan ennek a mérőszámnak az első említése Hausdorff „A halmazelmélet” című könyvében található, amely az 1914-es első kiadás. Két évvel később ugyanezt a mérőszámot írja le Blaschke Kör és labda című művében, esetleg függetlenül, mivel nem tartalmaz utalást Hausdorff könyvére.

Definíció

Legyen és egy metrikus tér két nem üres kompakt részhalmaza . Ekkor a és közötti Hausdorff-távolság, , az a minimális szám , amelyet a zárt szomszédság és a zárt szomszédság is tartalmaz . $x$ $Y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)$ $x$ $Y$ $r$ $r$ $x$ $Y$ $r$ $Y$ $x$

Jegyzetek

Más szóval, ha a pontok közötti távolságot jelöli és akkor $|xy|$ $x$ $y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{ {y\in Y}}\inf _{{x\in X}}|xy|\right\}.$

Egyenértékű definíció: $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _ {Y}(m)|\,\jobbra\},$

ahol a halmaz távolságfüggvényét jelöli .

\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

x

Tulajdonságok

Legyen jelölje a metrikatér összes nem üres kompakt részhalmazát a Hausdorff-metrikával: $F(M)$ $M$

A tér topológiáját teljesen a topológia határozza meg . $F(M)$ $M$
(Blashke választási tétele) akkor és csak akkor kompakt . $F(M)$ $M$
$F(M)$ akkor és csak akkor teljes, ha teljes. $M$

Változatok és általánosítások

Néha a Hausdorff-metrikát egy metrikus tér összes zárt részhalmazának halmazán veszik figyelembe, ebben az esetben az egyes részhalmazok közötti távolság végtelen lehet.
Néha a Hausdorff-metrikát figyelembe veszik egy metrikus tér összes részhalmazának halmazán. Ebben az esetben ez csak egy pszeudo -metrika, és nem metrika, mivel a különböző részhalmazok közötti „távolság” nulla is lehet.
Az euklideszi geometriában a Hausdorff-metrikát gyakran a kongruenciáig alkalmazzák . Legyen és az euklideszi tér két kompakt részhalmaza, akkor legalább az euklideszi tér összes mozgása határozza meg . Szigorúan véve ez a mérőszám az euklideszi tér kompakt részhalmazainak egybevágósági osztályainak terére vonatkozik. $x$ $Y$ $D_{H}(X,\;Y)$ ${\displaystyle d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )))$ $én$
A Gromov-Hausdorff metrika a kongruenciáig hasonló a Hausdorff-mutatóhoz . A kompakt metrikus terek halmazát (izometrikus osztályait) metrikus térré alakítja.

Jegyzetek

Irodalom

Blaschke . Kör és labda . - M . : Nauka, 1967.
Skvortsov V. A. Példák metrikus terekre // Mathematical Education Library Archivált : 2014. január 12. a Wayback Machine -nél . - 2001. - 9. szám.
Hausdorff "halmazelmélet"