Darboux felület

A Darboux-felület egy kétdimenziós F 2 felület egy E 3 háromdimenziós euklideszi térben , amelyen a Darboux-tenzor definiálva van, és megegyezik nullával .

A Darboux-tenzor egy harmadrendű, háromszoros kovariáns szimmetrikus tenzor, amely az F 2 felületen van definiálva, E 3 -ban nem nulla K Gauss-görbülettel .

A Darboux tenzor összetevőit a következő képletekkel számítjuk ki: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

ahol a második másodfokú alak együtthatói, K a Gauss-görbület, és és ezek kovariáns deriváltjai. ${\displaystyle b_{ij))$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

G. Darboux [1] volt az első, aki erre a speciális koordinátákkal rendelkező tenzorra jutott .

A Darboux-tenzor eltűnése jellemzi a Darboux-felületeket E 3 -ban – olyan másodrendű kétdimenziós felületek, amelyek nem tágulnak síkra [2] .

A Darboux felületek másik fontos tulajdonsága a felületek infinitezimális hajlításainak elméletéhez kapcsolódik. Így a K>0 pozitív Gauss-görbületű Darboux-felületeket E 3 - ban az a tulajdonság jellemzi, hogy a rajtuk és csak rajtuk lévő infinitezimális hajlítások egyenletrendszere a Cauchy-Riemann egyenletrendszerre redukálódik [3] .

A Darboux-felületek természetes általánosítása n-dimenziós részsokaságok ciklikusan ismétlődő második alapformával állandó görbületű (n+p)-dimenziós terekben [4] .

A háromdimenziós E 3 euklideszi térben a nullától eltérő K Gauss-görbületű, ciklikusan ismétlődő F 2 felület lokálisan Darboux-felület [5] .

Bonnet tétele. A Darboux-felületen a háromdimenziós euklideszi térben minden görbületi vonal mentén a hozzá tartozó főgörbület arányos a másik főgörbület kockájával [6] .

Jegyzetek

↑ Darbouch, G. "Bull. sci. math.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V. F. A felületek elméletének alapjai tenzoros előadásban, 2. rész, Moszkva-Leningrád: OGIZ, 1948, 210-233.
↑ Vekua, I. N. Általánosított analitikus függvények. M.: Nauka, 1988. S. 326-330.
↑ Bodrenko, I. I. Generalized Darboux felületek állandó görbületű terekben. Saarbrücken, Németország: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. Generalized Darboux felületek állandó görbületű terekben. C. 119-130.
↑ Kagan, V. F. A felületek elméletének alapjai tenzoros bemutatásban, 2. rész, Moszkva-Leningrád: OGIZ, 1948.