Tensor Darboux

A nullától eltérő K Gauss-görbületű kétdimenziós F 2 felület Darboux-tenzorának összetevőit az E 3 euklideszi térben a következő képletekkel számítjuk ki: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

ahol a második másodfokú alak együtthatói, a Gauss-görbület, és ezek kovariáns deriváltjai. ${\displaystyle b_{ij))$ $K\neq 0$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

A Darboux-tenzor [1] a köbös differenciálformához kapcsolódik

\Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m} -{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.

Ezt a felületi görbének nevezett formát Darboux invariánsnak nevezik.

A görbét, amelynek minden pontjában a Darboux invariáns egyenlő nullával, Darboux egyenesnek nevezzük [2] .

Az általánosított hiperfelületi Darboux-tenzor egy hármas kovariáns harmadrendű szimmetrikus tenzor, amely egy n-dimenziós F n hiperfelületen van definiálva, az E n+1 euklideszi térben nem nulla K Gauss-görbülettel [3] . A hiperfelület általánosított Darboux-tenzorának összetevőit a [4] képletekkel számítjuk ki : ${\displaystyle \Theta _{(n)))$

\Theta _{(n)ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j} K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.

Az E n+1 euklideszi térben lévő F n hiperfelületet , amelyen az általánosított Darboux-tenzor definiálva van, és azonosan nullával egyenlő, E n+1 -ben általánosított Darboux-hiperfelületnek nevezzük .

Jegyzetek

↑ Darbouch, G. (1880). Bika. sci. math.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V. F. (1948). A felületek elméletének alapjai a tenzor bemutatásban, 2. rész, M.-L.: OGIZ, 1948, 208-233.
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Általánosított Darboux felületek állandó görbületű terekben. Saarbrücken, Németország: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Általánosított Darboux felületek állandó görbületű terekben. C. 119-130.