Cauchy-Riemann feltételek

A Cauchy-Riemann- feltételek , más néven d'Alembert-Euler-feltételek , egy komplex változó bármely differenciálható függvényének valós és képzetes részeit összekötő relációk . $u=u(x,y)$ $v=v(x,y)$ $w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$

Megfogalmazás

Derékszögű koordinátákkal

Ahhoz, hogy a komplex sík valamely tartományában meghatározott függvény egy pontban egy komplex változó függvényeként differenciálható legyen , szükséges és elégséges , hogy valós és képzetes részei és egy pontban differenciálhatóak legyenek valós változók függvényeiként, ill . és ezen a ponton a Cauchy-Riemann feltételek teljesültek: $w=f(z)$ $D$ ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0))$ $z$ $u$ $v$ $(x_{0},y_{0})$ $x$ $y$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.

Kompakt jelölés:

{\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,

vagy

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {1}{i)){\frac {\partial f}{\partial y)).

Ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, akkor a derivált a következő alakok bármelyikében ábrázolható: $F z)$

{\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x))+i{\frac {\partial v}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y))={\frac {\partial v}{\partial y))+i{\frac {\partial v}{\partial x))=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}

Bizonyítás

1. Szükségesség

A tétel hipotézise szerint van egy határ

f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},

független a nullára való hajlás módjától. $\Deltaz$

Valódi növekedés. Állítsuk be és vegyük figyelembe a kifejezést $\Delta z=\Delta x$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

Egy komplex határérték léte ekvivalens ugyanazon határérték létezésével bármely irányban, beleértve Ezért a z 0 pontban van az f ( z ) függvény parciális deriváltja x -re vonatkozóan és a képlet lezajlik.

\lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))

\lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac {\ részleges f(z_{0})}{\részleges x_{0}}}.

Pusztán képzeletbeli növekmény. Feltéve, hogy találunk $\Delta z=i\Delta y$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y))={\frac {1}{i} }{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}.

Ez azt jelenti, hogy ha a függvény differenciálható, akkor a függvények deriváltjai x -re és y -ra vonatkoztatva pontosan megegyeznek, vagyis a Cauchy-Riemann-feltételek szükségessége bizonyítást nyert.

2. Elegendőség

Más szóval, az ellenkező irányba kell bizonyítanunk, hogy ha egy függvény deriváltjai x -re és y -ra vonatkoztatva valóban azonosak, akkor a függvény általánosságban bármely irányban differenciálhatónak bizonyul.

Funkciónövekmény

A differenciálhatóság definícióját követve egy pont szomszédságában lévő függvény növekménye így írható fel $F z)$ $z_{0}$

f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}\Delta x+{ \frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}\Delta y+\xi (x,y),

ahol a komplex értékű függvény "alárendelt" tagként szolgál, és nullára hajlamos gyorsabban, mint és i.e. $\xi (x,y)$ $(x,y)\jobbra nyíl (x_{0},y_{0})$ $\Delta x$ $\Delta y,$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z))=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z))=0.

Most állítsuk össze a különbségi relációt , és alakítsuk át formává ${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))$

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0}) )}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\ Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z)).

Differenciálhatósági feltétel

Most a Cauchy-Riemann-feltételek elégségességének bizonyítására behelyettesítjük őket a különbségi relációba, és a következőket kapjuk:

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0}) )}{\partial x_{0))}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}(i\Delta y)+\xi (x,y )}{\Delta z))={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z} }.

Megjegyzendő, hogy mivel nullára hajlik, a képlet utolsó tagja nullára hajlik, míg az első változatlan marad. Ezért a határérték minden növekedési irányban ugyanaz, és nem csak a valós és a képzeletbeli tengely mentén, ami azt jelenti, hogy létezik ez a határ, ami bizonyítja az elégségességet. $\Deltaz$ ${\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0))}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\ 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ $\Delta z,$

Poláris koordinátákban

A polárkoordináta-rendszerben a Cauchy-Riemann feltételek így néznek ki: $(r,\varphi )$

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Kompakt jelölés:

{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.

Polar Record kimenet

Az eredeti függvényt ábrázoljuk a formában

f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

Descartes-koordináták poláris kifejezése

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{mátrix}}\right.

Írjuk fel a függvény deriváltját $u(x,y)$

\left\{{\begin{mátrix}{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {\partial u}{\partial x)){\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial u}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\ részleges x))+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi ))={\frac {\partial u} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y)).\end{mátrix))\ jobb.

hasonlóan kiszámítjuk a függvény deriváltjait $v(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r))={\frac {\partial v}{\partial x)){\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial v}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\ részleges x))+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y));\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi ))={\frac {\partial v} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y)).\end{mátrix))\ jobb.

Csoportosítás és szorzás

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+\sin \ varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ))=\cos \varphi {\ frac {\partial v}{\partial y))-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x));\end{mátrix))\right.

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+ r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\-r{\frac {\partial v}{\partial r))=-r\cos \varphi {\frac {\ részleges v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{mátrix}}\right.

A Cauchy-Riemann-feltételeket derékszögű koordinátákban felhasználva
megkapjuk a megfelelő kifejezések egyenlőségét, ami az eredményhez vezet

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Egy differenciálható komplex függvény modulja és argumentuma közötti kapcsolat

Gyakran kényelmes egy összetett függvényt exponenciális formában írni:

f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.

Ezután a Cauchy-Riemann feltételek a következőképpen kapcsolják össze a modult és a függvény argumentumot : $R$ $\Phi$

{\frac {\partial R}{\partial x))=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y));\quad {\frac {\partial R}{\partial y} }=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x)).

És ha a függvény és argumentuma egyszerre fejeződik ki a poláris rendszerben:

f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},

akkor a bejegyzés a következő lesz:

{\frac {\partial R}{\partial r))={\frac {R}{r)){\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi ));\quad R{\ frac {\partial \Phi }{\partial r))=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi )).

A Cauchy-Riemann-feltételek geometriai jelentése

Legyen a függvény ahol differenciálható. Tekintsünk két görbecsaládot (szintvonalat) a komplex síkban. $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $z=x+iy,$ $(x, y)$

Első család:

u(x,y)=állandó.

Második család:

v(x,y)=állandó.

Ekkor a Cauchy-Riemann feltételek azt jelentik, hogy az első család görbéi merőlegesek a második család görbéire.

A Cauchy-Riemann feltételek algebrai jelentése

Ha a komplex számok halmazát a feletti vektortérnek tekintjük , akkor egy függvény deriváltjának értéke egy pontban egy 2-dimenziós vektortérből önmagába való lineáris leképezés ( -linearitás). Ha egydimenziós vektortérnek tekintjük a felett , akkor a derivált egy pontban az egydimenziós vektortér önmagába való lineáris leképezése is lesz ( -linearitás), ami koordinátákban egy komplex számmal való szorzás . Nyilvánvaló, hogy minden -lineáris térkép -lineáris. Mivel a mező (egydimenziós vektortér) izomorf a forma valós mátrixainak mezőjével a szokásos mátrixműveletekkel, ezért a leképezés Jacobi -mátrixának elemeire egy ponton (pontosabban: a leképezés egy pontban ) -linearitási feltételek , azaz. . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $F z)$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ $f$ $z$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )))$ $(x, y)$ $\mathbb {C}$ $F z)$ ${\tilde {f}}'(x,y)$

Történelem

Ezek a feltételek először d'Alembert ( 1752 ) munkájában jelentek meg . Euler 1777 -ben a Szentpétervári Tudományos Akadémiának beszámolt munkájában a feltételek először kaptak általános kritérium jelleget a függvények elemzésére.

Cauchy ezeket az összefüggéseket egy függvényelmélet felépítésére használta, kezdve a Párizsi Tudományos Akadémiának 1814 -ben bemutatott emlékiratával . Riemann híres disszertációja a függvényelmélet alapjairól 1851 -ből származik .

Lásd még

Komplex elemzés

Irodalom

Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - M .: Nauka, 1974 . — 320 s.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M . : Nauka, 1980 . — 464 p.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka, 1969 . — 577 p.
Cartan A. Differenciálszámítás. differenciális formák. — M .: Mir , 1971 . — 392 p.