Másodrendű görbe

Másodrendű görbe - a sík azon pontjainak helye, amelyek téglalap alakú koordinátái kielégítik a forma egyenletét

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

amelyben legalább az egyik együttható nullától eltérő. Így a másodrendű görbe az algebrai görbe speciális esete . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Történelem

A másodrendű görbéket először Menechmus , Eudoxus tanítványa [1] [2] tanulmányozta . Munkája a következő volt: ha veszünk két metsző egyenest és elforgatjuk az általuk alkotott szög felezője körül, akkor egy kúpfelületet kapunk . Ha ezt a felületet egy síkkal metszük , akkor a metszetben különféle geometriai alakzatokat kapunk, nevezetesen ellipszist , kört , parabolát , hiperbolát és több degenerált alakzatot (lásd alább).

Ez a tudományos tudás azonban csak a 17. században talált alkalmazásra, amikor kiderült, hogy a bolygók elliptikus pályán mozognak, és egy ágyúlövedék egy parabola mentén repül. Még később vált ismertté, hogy ha megadja a testnek az első térsebességet , akkor az egy körben fog mozogni a Föld körül, ennek a sebességnek a növekedésével - ellipszis mentén , a második térsebesség elérésekor - egy parabola mentén , és a második térsebességnél nagyobb sebességgel – egy hiperbola mentén .

Invariánsok

A görbe formája négy invariánstól függ :

invariánsok a koordinátarendszer forgatása és eltolása alatt :
- $I_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatrix}}$ (más néven ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (más néven ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (más néven ) $én$
invariáns a koordinátarendszer elforgatásához képest (félinvariáns):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}$ (más néven ) $B$

A néha előforduló "görbe invariáns" kifejezés pontatlan. Ha az egyenletet megszorozzuk egy nem nulla k számmal, akkor ugyanazt a görbét definiáló egyenletet kapunk. Ebben az esetben az invariánsok értéke megváltozik. stb. $\Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2}$

A másodrendű görbék osztályozása az invariánsok értékei alapján

Ív	Az egyenlet	Invariánsok
Ellipszis	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	$I_{2}>0$	$I_{1}I_{3}<0$
Pont (egy képzeletbeli metsző egyenes pár)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			$I_{3}=0$
képzeletbeli ellipszis	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$I_{1}I_{3}>0$
Hiperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
Egy pár metsző egyenes	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$		$I_{2}<0$	$I_{3}=0$
Parabola	$y^{2}=2px$	$I_{2}=0$		$I_{3}\neq 0$
Párhuzamos vonalpár	$x^{2}-d^{2}=0$			$I_{3}=0$	$K_{1}<0$
Egyenes	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Képzelt párhuzamos egyenesek párja	$x^{2}+d^{2}=0$				$K_{1}>0$

Nem degenerált görbék

A másodrendű görbét nem degeneráltnak nevezzük, ha a következő opciók fordulhatnak elő: $\Delta\ne0.$

Egy másodrendű nem degenerált görbét központinak nevezzük, ha $D\not=0$
- ellipszis - biztosított és ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - ellipszis speciális esete - kör - feltéve, hogy ill $I^2=4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- képzeletbeli ellipszis (egyetlen valós pont sem) - feltéve és $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hiperbola – feltéve $D<0;$
A másodrendű nem degenerált görbét nem központinak nevezzük, ha $D=0$
- parabola – tárgya $D=0.$

Degenerált görbék

Egy másodrendű görbét degeneráltnak nevezzük, ha . A következő lehetőségek merülhetnek fel: $\Delta=0$

valós pont két képzeletbeli egyenes metszéspontjában (degenerált ellipszis ) - feltéve $D>0;$
egy pár valódi metsző egyenes ( degenerált hiperbola ) - feltéve $D<0;$
degenerált parabola – feltéve $D=0:$
- egy pár valódi párhuzamos egyenes - a feltétel mellett $B<0;$
- egy valós vonal (két egyesített párhuzamos vonal ) - feltéve $B=0;$
- egy pár képzeletbeli párhuzamos egyenes (nem egyetlen valós pont) - feltéve $B>0.$

Karakterisztikus másodfokú forma és karakterisztikus egyenlet

A másodrendű görbék számos fontos tulajdonsága tanulmányozható a görbe egyenletének megfelelő karakterisztikus másodfokú formával

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Így például egy nem degenerált görbe valódi ellipszisnek , képzeletbeli ellipszisnek , hiperbolának vagy parabolának bizonyul , attól függően, hogy pozitív határozott, negatív határozott, határozatlan vagy félig meghatározott másodfokú alakról van szó, amelyet a következőképpen állapít meg: a karakterisztikus egyenlet gyökerei: $\left(\Delta\ne0\jobb)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

vagy

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a valós szimmetrikus mátrix sajátértékei

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

és ennek következtében mindig valóságosak [3] .

Másodrendű görbe átmérői és középpontja

Egy másodrendű görbe átmérője a görbe párhuzamos húrjai felezőpontjainak helye . Az így kapott átmérőt ezen húrok konjugátumának vagy irányának nevezzük . Az Ox tengely pozitív irányával szöget bezáró húrok átmérőjét a következő egyenlet határozza meg: $\theta$

$\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \ sin\theta = 0.$

Ha a feltétel teljesül, akkor a görbe összes átmérője egy pontban – a középpontban – metszi egymást, és magát a görbét központinak nevezzük . Ellenkező esetben ( ) a görbe minden átmérője párhuzamos vagy azonos. $D\ne0,$ $D=0$

A középponti koordinátákat az egyenletrendszer határozza meg: $\left(x_0,\;y_0\right)$

$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}$

Ennek a rendszernek a megoldása a következők tekintetében : $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Ha a görbe központi, akkor az origót a középpontjába mozgatva az egyenlet a formába kerül

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ bár x = x - x_0,\;\;\;\bar y = y - y_0,$

hol vannak az új rendszerhez viszonyított koordináták. $\bar x,\;\bar y$

Másodrendű görbe főtengelyei és csúcsai

A másodrendű görbe főtengelye az átmérője, amely merőleges a vele konjugált húrokra. Ez az átmérő a görbe szimmetriatengelye. Minden központi görbének vagy két egymásra merőleges tengelye van, vagy minden átmérő főtengely. Ez utóbbi esetben a görbe egy kör. A nem központi görbéknek csak egy főtengelyük van. A főtengely metszéspontjait magával a görbével annak csúcsainak nevezzük . $\left(D\ne0\right)$ $\left(D=0\jobb)$

A normálok főtengelyekre vonatkozó iránykoszinuszai kielégítik az egyenleteket

$\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22 } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{esetek},$

ahol a karakterisztikus egyenlet nullától eltérő gyöke. A főtengelyek irányait és a hozzájuk tartozó konjugált húrokat a görbe főirányainak nevezzük . Az Ox tengely pozitív iránya és a két főirány közötti szöget a következőképpen adja meg: $\lambda$

$\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

A másodrendű görbék közül csak a körnek van határozatlan főiránya.

Egyenletek

Általános egyenlet mátrix formában

A görbe általános egyenlete felírható mátrix alakban

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

vagy

x^{T}Ax=0

Kanonikus forma

Egy új koordinátarendszer bevezetésével a másodrendű görbék egyenletei a standard kanonikus formába hozhatók (lásd a fenti táblázatot). A kanonikus egyenletek paraméterei nagyon egyszerűen a görbe eredeti egyenletének invariánsaival és a karakterisztikus egyenlet gyökeivel fejezhetők ki (lásd fent a "Jellemző másodfokú forma és karakterisztikus egyenlet" című részt). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Megjegyzés. Amikor egy egyenlet kanonikus formájára váltunk, szükséges lehet az egyenletet egy nem nulla számmal megszorozni. Ezért a kanonikus egyenlet invariánsainak számértékei eltérhetnek az eredeti egyenlet invariánsainak értékétől. A és jelei változatlanok maradnak . $\Delta \cdot I\;$ $D$

A kanonikus formájú centrális görbe középpontja az origóban van. $\left(x_0,\;y_0\right)$

Az excentricitás révén

Bármely másodrendű nem degenerált görbe kanonikus egyenlete az origó megfelelő transzformációjával formára redukálható

$y^2=2px-(1-\varepszilon^2)x^2\\ (p>0).$

Ebben az esetben a görbe áthalad az új koordinátarendszer origóján, és az Ox tengely a görbe szimmetriatengelye. Ez az egyenlet azt a tényt fejezi ki, hogy egy másodrendű nem degenerált görbe azoknak a pontoknak a helye, amelyek távolságaránya ( excentricitása ) egy adott ponttól ( fókusz ) és egy adott egyenestől ( irányelv ) állandó . Ezen túlmenően, a görbe egy kör, egy ellipszis, egy parabola, és egy hiperbola. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepszilon = 0$ $\varepszilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

A görbe irányvonalának egyenletét az egyenlet és a fókusz koordinátái fejezik ki. A direktrix merőleges a fókuszon és a görbe csúcsán átmenő szimmetriatengelyre ( fókusztengely ). A fókusz és a direktix közötti távolság a $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y=0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Ha a másodrendű görbe központi (ellipszis vagy hiperbola), akkor az egyenes

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

a szimmetriatengely, ezért a görbének két fókusza és két irányvonala van.

Ezt a paramétert fókuszparaméternek nevezik , és egyenlő a fókuszon áthaladó és a fókusztengelyre merőleges húrhossz felével ( fókuszkord ). $p$

Poláris koordináták

Ha egy másodrendű nem degenerált görbe fókuszát a poláris koordináta-rendszer pólusának , szimmetriatengelyét pedig poláris tengelynek vesszük, akkor polárkoordinátákban a görbe egyenlete így fog kinézni. $\left(\rho,\phi\jobb)$ $\rho$ $\phi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

Öt pontja által meghatározott görbe

Egy másodrendű görbét teljesen meghatározza az öt pontja, ha négy sem esik ugyanazon az egyenesen. pontokon áthaladó görbe egyenlete és $\left( x_1, y_1 \right),$ $\left( x_2, y_2 \right),$ $\left( x_3, y_3 \right),$ $\left(x_4, y_4 \jobb)$ $\left(x_5, y_5\jobb):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5 x_5 & y_5 & 1 \end{vmátrix} = 0.$

Az öt pont által adott görbe akkor és csak akkor degenerálódik, ha a megadott pontok közül három ugyanazon az egyenesen fekszik.

Érintők és normálok

A másodrendű görbe érintőjének egyenlete a pontjában a következő: $f(x,y)$ $\left(x_1, y_1\right)$

$\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\jobbra) = 0.$

A normál és egy másodrendű görbe egyenletének egy pontban a következő alakja van $\left(x_1, y_1\right)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Pólusok és sarkok

Az egyenlet

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\jobbra) = 0

az érintő mellett egy egyenest határoz meg, amelyet egy pont polárisának nevezünk egy másodrendű görbéhez képest, függetlenül attól, hogy ez a pont a görbén fekszik-e vagy sem. A pontot ennek az egyenesnek a pólusának nevezzük . A görbe pontjának polárisa az érintője abban a pontban. $\left(x_1, y_1\right)$ $\left(x_1, y_1\right)$

Tételek a pólusokról és a sarkokról:

Ha a póluson keresztül húzott egyenes egy pontban metszi a polárist és pontokban egy másodrendű görbét, majd a pontokat és harmonikusan elválasztja a szakaszt , vagyis a feltétel $P,$ $K,$ $R_{1}$ $R_2,$ $P$ $K$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Ha egy pont egy bizonyos egyenesen fekszik, akkor annak polárisa átmegy ennek az egyenesnek a pólusán. Ha egy egyenes áthalad egy ponton, akkor a pólusa az adott pont polárisán fekszik.
Egy másodrendű görbe átmérője annak a végtelenben lévő pontnak a polárisa, amelyen a hozzá konjugált húrok áthaladnak, a görbe középpontja pedig a végtelenben lévő egyenes pólusa.
A görbe fókusza egy ceruza középpontja, amelynek az a tulajdonsága, hogy bármely vonalának pólusa a ceruza rá merőleges vonalához tartozik. A rendező a fókuszpont.

Ezekből a kijelentésekből különösen az következik, hogy:

ha egy ponton keresztül a görbe két érintője húzható, akkor ennek a pontnak a polárisa átmegy az érintőpontokon;
a görbe érintői az átmérő végein párhuzamosak a hozzá konjugált húrokkal;
a görbe érintőinek metszéspontja a fókuszon átmenő bármely húrja végén az irányítóponton van;
a fókuszon áthaladó minden húr merőleges a fókuszán keresztül húzott egyenesre és az akkord végén lévő érintők metszéspontjára.

Másodrendű görbékkel kapcsolatos tételek

Pascal-tétel : egy másodrendű görbébe írt hatszög ellentétes oldalainak metszéspontjai ugyanazon az egyenesen helyezkednek el .
Brianchon-tétel : A másodrendű görbe körül körülírt hatszög ellentétes csúcsain átmenő átlók egy pontban metszik egymást .

Lásd még

Linkek

Egy másodrendű görbe általános egyenlete archiválva 2020. január 30-án a Wayback Machine -nél
Másodrendű görbék
Másodrendű görbék: hiperbola, parabola

Irodalom

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. II. fejezet (Másodrendű görbék) // Geometria. - M . : Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopjan A.V., Zaslavsky A.A. Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - M. : MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometria. - M. : MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Másodrendű görbék (kúpszelvények) // Matematika kézikönyve. - 4. kiadás. - M . : Nauka, 1978. - S. 64-69.

Jegyzetek

↑ Rosenfeld B. A. Apollonius of Perga Archiválva : 2015. november 12. a Wayback Machine -nél . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor és Edmund F. Robertson . A Menaechmus (angolul) egy életrajz a MacTutor archívumában .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Karakterisztikus másodfokú forma és karakterisztikus egyenlet // Matematika kézikönyve. - 4. kiadás. - M . : Nauka, 1978. - S. 64.