Pascal tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Pascal tétele [1] a projektív geometria klasszikus tétele .

Megfogalmazás

Ha egy hatszöget körbe (vagy bármely más kúpszeletbe - ellipszisbe , parabolába , hiperbolába vagy akár egy egyenespárba ) írunk , akkor három ellentétes oldalpár metszéspontja ugyanazon az egyenesen található . Ezt a sort Pascal-vonalnak nevezik [2] .

Történelem

Először Blaise Pascal fogalmazta meg és bizonyította 16 évesen Pappus tételének általánosításaként . Pascal ezt a tételt vette alapjául a kúpszeletekről szóló értekezésének. Maga a traktátus eltűnt, és csak egy összefoglalója ismert Leibniz leveléből, akinek párizsi tartózkodása alatt a kezében volt, valamint e dolgozat fő tételeinek összefoglalása, amelyet maga Pascal állított össze (Kísérlet a kúposon szakaszok). Maga Pascal Pappus tételének egyenespárját kúpszakasznak, Pappus tételét pedig tétele speciális esetének tekintette.

A bizonyítékokról

Az egyik bizonyítás kettős számolást használ .
Egy lehetséges bizonyítás Menelaus tételének következetes alkalmazásán alapul .
Projektív transzformációval a leírt kúp körré alakítható, miközben a tétel feltétele megmarad. Egy körre a tétel egy izogonális ragozás létezéséből igazolható .
- Körbe írt konvex sokszög esetén lehetőség van olyan projektív transzformáció végrehajtására, amely a kört a helyén hagyja, és a két szemközti oldalpár metszéspontjain áthaladó egyenes a végtelenbe vehető. Ebben az esetben nyilvánvalóvá válik a tétel állítása.
Egy lehetséges bizonyítás a 9 pont a kockán tételen is alapulhat .

Alkalmazás

Lehetővé teszi egy kúpszelvény felépítését öt ponttal, a konfigurációban a hatszög hatodik pontjának megfelelő pontok helyeként.

Változatok és általánosítások

Pascal tétele kettős Brianchon tételével .

Ha egy hatszög főátlói egy pontban metszik egymást, akkor a Pascal-tételben fellépő megfelelő egyenes ennek a pontnak a polárisa ahhoz a kúphoz képest, amelybe a hatszög be van írva.
- Általánosságban elmondható, hogy a Pascal-tételből a kúpba írt hatszögre vonatkozó egyenes poláris a Brianchon-tételből származó ponthoz képest egy hatszögre, amelyet az eredeti hatszög csúcsaiban lévő érintők alkotnak . ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$

A tétel akkor is igaz, ha két vagy akár három szomszédos csúcs egybeesik (de legfeljebb kettő egy ponton). Ebben az esetben az egyenes érintõjét ebben a pontban két egybeesõ csúcson áthaladó egyenesnek tekintjük. Különösen:
- A beírt ötszög egyik csúcsára húzott másodrendű egyenes érintője metszi az ezzel a csúcstal ellentétes oldalt egy olyan pontban, amely egy olyan egyenesen fekszik, amely átmegy a többi nem szomszédos oldalpár metszéspontjain. Pentagon.
- Ha az ABCD egy másodrendű egyenesbe írt négyszög, akkor a C és D csúcsban lévő érintők AD és BC oldalakkal, valamint az AB és CD egyenesek metszéspontja egy vonal.
- Ha az ABCD egy másodrendű egyenesbe írt négyszög, akkor a C és D csúcsban lévő érintők metszéspontjai, az AC és BD egyenesek, valamint az AD és BC egyenesek ugyanazon az egyenesen fekszenek.
- Egy másodrendű, szemközti oldalú egyenesbe írt háromszög csúcsaiban lévő érintők metszéspontjai ugyanazon az egyenesen fekszenek.
  - Ezt az egyenest az adott háromszög Pascal-vonalának nevezzük .

1847- ben megjelent Pascal tételének Möbius által készített általánosítása , amely így hangzik:
- Ha egy sokszöget oldalakkal kúpos metszetbe írunk, és a szemközti oldalait úgy terjesztjük ki, hogy egy pontban metszik egymást, akkor ha ezek a pontok egy egyenesen helyezkednek el, akkor az utolsó pont is ugyanazon az egyenesen lesz. $4n+2$ $2n+1$ $2n$

Kirkman tétele : Legyenek a , , , , és pontok ugyanazon a kúpszelvényen. Ezután Pascal hatszögvonalai , és egy pontban metszik egymást. $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $ABFDCE$ $AEFBDC$ $ABDFEC$

Tétel 9 pontról egy kockán

További illusztrációk

Jegyzetek

↑ Latin néven is ismert hexagrammum mysticum tétel
↑ Dmitrij Efremov . Új háromszöggeometria archiválva 2020. február 25-én a Wayback Machine -nál . - Odessza, 1902. - S. 7-8. I. fejezet, 11. pont.

Irodalom

Kotelnikov K. Pascal hatszöge // V.O.F.E.M. . - 1888. - 50. sz . - S. 34-35 .
Pascal . Kúpszelvényeken végzett kísérlet Leibniz E. Perrier-hez írt levelének mellékletével. G. I. Ignatius fordítása és kommentárja. // Történeti és matematikai kutatás . XIV. szám.
Freivert D. M. Új téma az euklideszi geometriában a síkon: a „Pascal-pontok” elmélete, amelyet egy négyszög oldalain lévő kör segítségével alkotnak meg . - 2019. - S. 37-42 .
Kendő . A geometriai módszerek eredetének és fejlődésének történeti áttekintése . Ch. 2. § 16-19. M., 1883.
R. Courant, G. Robbins: Mi a matematika? IV. fejezet, 8.4.
Élő rajzok ( Java nyelven )
- Pascal tétele a Csomót vágni
- Pascal tétele
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0 .
D. Fraivert. A konvex négyszög és a Pascal-pontokat alkotó kör elmélete - a Pascal-pontok tulajdonságai egy konvex négyszög oldalain // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 40 . — P. 1–34. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121666 .
D. Fraivert. Egy Pascal-pontkör tulajdonságai egy négyszögben merőleges átlókkal // Forum Geometricorum. - 2017. - Kt. 17. - P. 509-526.