Projektív kettősség

A projektív sík egyik fontos tulajdonsága a pontok és vonalak definíciókban és tételekben betöltött szerepeinek „ szimmetriája ”, a kettősség pedig ennek a fogalomnak a formalizálása. A dualitás fogalmának két megközelítése létezik: az egyik a „ kettősség elvének ” nyelvezetét használva lehetővé teszi, hogy egy tételhalmazt duálisnak nyilvánítsunk egymással szemben, miközben az igaz tétel kettőssége is igaz; és egy másik, speciális dualitásleképezésen alapuló funkcionális megközelítés . A megközelítések között az a kapcsolat, hogy a duális tételt úgy kapjuk meg, hogy a dualitásleképezést alkalmazzuk az eredeti objektum mindegyikére. Lehetséges koordináta megközelítés is .

A síkbeli dualitás fogalma könnyen kiterjeszthető a dualitásra bármely véges dimenziós projektív geometriában.

A kettősség elve

A projektív síkra vonatkozó dualitás elve kimondja, hogy ha bármely projektív geometriával megfogalmazott igaz állítást (bármely projektív tételt) veszünk, és az egyes tagok minden előfordulását a duáljával helyettesítjük, ismét igaz állítást kapunk. Különösen a pontokra és vonalakra vonatkozó kijelentéseknél elegendő a „pont” szó minden előfordulását „vonalra”, a „vonal” szót „pontra” cserélni (és a környező szavakat is megfelelő módon helyettesíteni, pl. "fekszik" és "tartozik"). Az így kapott állítást kettősnek mondjuk az eredetivel. Például a "Minden két ponton csak egy egyenes halad át" projektív axióma esetében a duális állítás egy másik projektív axióma: "Minden két egyenes egy pontban metszi egymást".

Ez az elv jó okot ad a "szimmetrikus" kifejezés használatára az előfordulási relációra . Tehát a „pont egy vonalon fekszik” mondat helyett azt mondhatjuk, hogy „pont és vonal incidens”, és ahhoz, hogy az állítást duállá alakítsuk, elég átrendezni a pont és a vonal szavakat („vonal” és pont incidens”).

Ez a fogalom egy háromdimenziós projektív tér kettősségére általánosítható, ahol a "pont" és a "sík" fogalma szerepet cserél (és az egyenesek egyenesek maradnak). [1] Ez a tér kettősségi elvéhez vezet . További általánosítások is lehetségesek (lásd alább).

Bonyolultabb ábrák kettőssége

A pontok és vonalak szimbólummal ellátott konfigurációja pontok és vonalak halmaza úgy , hogy pontosan konfigurációs vonalak haladnak át minden ponton , és pontosan konfigurációs pontok minden vonalon . A szimbólummal ellátott konfiguráció kettős objektuma a szimbólummal rendelkező konfiguráció . Például egy teljes négyoldalas objektum kettős objektuma egy teljes négyoldalas [ 2] . ${\megjelenítési stílus (m_{c}, n_{d})}$ $m$ $n$ $c$ $d$ ${\megjelenítési stílus (m_{c}, n_{d})}$ $(n_{d},m_{c})$

A kettősség elve megengedi a projektív síkon tetszőleges görbék általánosítását. Kettős görbe készítéséhez az adott görbe minden pontjával duális egyenest építünk, majd figyelembe veszik azok burkológörbéjét - olyan görbét, hogy az összes kapott egyenes érinti azt. Különösen a projektív síkon lévő másodrendű görbéknél derül ki, hogy a kettős görbe egyben másodrendű görbe is.

Általánosabban fogalmazva, a projektív térben lévő négyzetekre a következő állítás érvényes: a nem degenerált négyzet érintő hipersíkjainak halmaza egy projektív térben egy nem degenerált négyzetet alkot a térben (a csillag, mint általában, kettős teret jelent ) [ 3] . A kettősség tetszőleges projektív algebrai változatokra is kiterjeszthető. $P(L)$ $P(L^{*})$

Kettős tételek

A valódi projektív síkra vonatkozóan számos jól ismert állítás létezik, amelyek kettősek egymással. Közöttük: ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

Desargues-tétel ⇔ Inverz Desargues-tétel
Pascal -tétel ⇔ Brianchon-tétel
Menelaus tétele ⇔ Ceva tétele

Kettős poliéder

A sztereometriában létezik a poliéder kettőssége , amikor a pontok kettősek az oldalakkal, az élek pedig az élekkel, így például egy ikozaéder duális egy dodekaéderhez , egy kocka pedig egy oktaéderhez . Ennek a kettősségnek az egyik módja a projektív kettősség alkalmazása.

Formalizálás

Ha a projektív síkot axiomatikusan definiáljuk beesési struktúraként pontok halmaza, vonalak halmaza és egy bináris beesési reláció alapján, amely meghatározza, hogy mely pontok melyik egyenesen fekszenek, akkor definiálhatunk egy kétsíkú szerkezetet . $P$ $L$ $én$

Ha felcseréljük a "pontok" és az "egyenesek" szerepét az incidenciastruktúrában

C=(P,L,I),

a kettős szerkezetet kapjuk

C^{\ast }=(L,P,I^{\ast }),

ahol az inverz viszonya -hoz . projektív sík is , amelyet kettős síknak nevezünk . ${\displaystyle I^{\ast ))$ $én$ ${\displaystyle C^{\ast ))$ $C$

Ha és izomorf, akkor önkettősnek nevezzük . A projektív síkok bármely mezőre (vagy általánosabban bármely önmagával izomorf testre ) önkettősek . Különösen a véges rendű Desargues-i síkok mindig önkettősek. A nem Desargues-i síkok között azonban vannak önkettősek (például a Hughes-síkok ) és nem önkettősek (például a Hall-síkok). $C$ ${\displaystyle C^{\ast ))$ $C$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (2,K)}$ $K$

A kettősség mint leképezés

A (sík) dualitás egy projektív síkról a duálisra való leképezés , megőrizve a beesési tulajdonságot. Így a dualitás pontokat vonalakra, a vonalakat pedig pontokra ( és ) képezi le oly módon, hogy ha egy pont egy egyenesen fekszik (jelölése ), akkor . $C=(P,L,I)$ $C^{\ast }=(L,P,I^{\ast })$ $\sigma$ $P^{\sigma }=L$ $L^{\sigma }=P$ $K$ $m$ $Qim$ $m^{\sigma }I^{\ast }Q^{\sigma }\Leftrightarrow QIm$

Az így meghatározott kettősség nem feltétlenül bijekció. A projektív síkok kettősségét, ami egy izomorfizmus, korrelációnak nevezzük . [4] [5] Néha csak egy automorfizmus esetére korlátozódnak, vagyis a projektív síkból önmagába való leképezésre, akkor a korreláció megléte a projektív sík öndualitását jelenti.

Kapcsolat a kollineációval

A korreláció fogalmát a kollineáció fogalmának analógjaként tekinthetjük. A kollineáció olyan projektív síkok közötti leképezés, amely a pontokat pontokra, a vonalakat pedig egyenesekre képezi le, vagyis megőrzi a beesést. [6]

A kollineációk fontos tulajdonsága, hogy megőrzik a kettős relációt [7] . A korrelációk is kielégítik ezt a követelményt, a pontok kettős arányát a vonalak kettős arányára fordítják. Így, amikor egy vonalon egy ponthalmazt egy ponton áthaladó vonalak ceruzává fordítunk, minden harmonikus négyszög harmonikus vonalnégyessé alakul át.

Figyelembe véve egy önmagával való tetszőleges korreláció összetételét , automatikusan kapunk valamilyen kollineációt . Ha kiderül, hogy identitásleképezés, vagyis ha maga a korreláció involúció , akkor azt polaritásnak vagy poláris megfelelésnek nevezzük . Néha ez a név csak egy bizonyos típusú levelezésre vonatkozik, lásd: #pólusok és pólusok . $\varphi$ $\varphi ^{2}$

Azonos tulajdonságú leképezések nagyobb dimenziójú terekben is bevezethetők, minden argumentum szó szerint ismétlődik.

Összefüggések osztályozása

Mivel két korreláció összetétele egy kollineáció, ez lehetővé teszi a kollineációk osztályozását, amely után az összes korreláció halmazát az összes kollineációval rögzített fix korreláció összetételeként írjuk le.

A kollineáció fogalma szorosan összefügg a projektív transzformáció fogalmával . Formálisan a projektív transzformáció egy kollineáció, amely egy lineáris operátorból származik a -n . Kiderült, hogy a valós esetben vagy a esetében ezek a fogalmak egyszerűen egybeesnek. alaptétele szerint egy formájú projektív síkra , ahol egy test, bármely kollineáció egy automorfizmus és egy projektív transzformáció összetétele . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n>2$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (2,K)}$ $K$ $K$

Ez felhasználható annak kimutatására, hogy a korrelációt egy tetszőleges szeszkvilineáris forma adja meg egy tetszőleges antiautomorfizmushoz társított mezőn . Ebben az esetben az egyes alterek az adott formához képest ortogonálisra vannak leképezve. ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (2,K)}$ $K^{3}$ $K$

Dualitás homogén koordinátákban

A projektív sík dualitása a projektív terek , transzformációk dualitásának speciális esete (amelyeket jelöléssel is jelölünk ), ahol egy olyan mező, amely a dimenzió objektumokat dimenzióobjektumokkal cseréli (= kóddimenzió ). Így egy projektív térben egy pont méretei (0. dimenzió) hipersíkoknak (1. kóddimenzió), a két ponton áthaladó egyenesek (1. dimenzió) két hipersík metszéspontjának (2. kodimenzió) és így tovább . ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (n,K)}$ $K\mathbb {P} ^{n}$ $K$ $r$ $n-1-r$ $r+1$ $n$

A pontok nem nulla vektoroknak tekinthetők a feletti ( )-dimenziós vektortérben , amelyben skalárral való szorzással eltérő vektorokat azonosítunk. Egy nem nulla vektor is meghatároz egy -dimenziós alteret (hipersíkot) , amely merőleges rá : ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (n,K)}$ $n+1$ $K$ $\mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n})$ $K^{n+1}$ $(n-1)$ ${\displaystyle H_{u))$

H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n} =0\}.

A hipersík meghatározásához használt vektort jelöljük , a vektor végének megfelelő pont jelölésére pedig a jelölést használjuk . Ami a szokásos pontterméket illeti , . Mivel egy mező, a pontszorzat szimmetrikus, ami azt jelenti . Megadhat korrelációt a pontok és a hipersíkok között. Ez a megfeleltetés kiterjeszthető két pontból és két hipersík metszéspontjából alkotott egyenesekre stb. $\mathbf {u}$ $\mathbf {u} _{H}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{P))$ ${\displaystyle H_{u}=\{\mathbf {x} _{P}:\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=0\))$ $K$ $\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_ {n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x} _{H}\cdot \mathbf {u} _{P}$ ${\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}$

A projektív síkon a mezővel van egy megfelelés: a homogén koordináták az egyenletek által adott egyenesek . A projektív térben a megfeleltetés a sík homogén koordinátáiban lévő ↔ pontoknak néz ki , amelyeket az egyenletek adnak meg . Ez a megfeleltetés leképezi a két pont által megadott egyenest és azt az egyenest is, amely a és az egyenletek által adott két sík metszéspontja . ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (2,K)}$ $K$ ${\megjelenítési stílus (a,b,c)\leftrightarrow }$ $ax+by+cz=0$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (3,K)}$ ${\megjelenítési stílus (a,b,c,d)}$ $ax+by+cz+dw=0$ ${\megjelenítési stílus (a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}$ ${\megjelenítési stílus (a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}$ $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0$

A skaláris szorzat helyettesíthető egy tetszőleges, nem degenerált bilineáris formával, ezáltal más összefüggéseket állíthatunk elő. $K^{n+1}$

Kölcsönös transzformáció geometriai felépítése

A homogén koordinátákban való megfelelés geometriailag leírható. Ehhez a valós projektív sík "az antipódokat azonosító egységgömb [8] " modelljét, vagy ezzel egyenértékűen a tér origóján áthaladó egyenesek és síkok modelljét használjuk . Hasonlítsuk össze a koordináták origóján átmenő egyenest az egyetlen rá merőleges, a koordináták origóját tartalmazó síkkal. Ha ebben a modellben az egyeneseket pontoknak, a síkokat pedig a projektív sík vonalainak tekintjük , ez az összehasonlítás a projektív sík megfeleltetésévé (valójában poláris leképezésévé) válik. Szférikus modellt kaphatunk az origón áthaladó egyenesek és síkok metszéspontjaként, az origó középpontjában lévő egységgömbbel. Az egyenesek metszik a gömböt két ellentétes pontban, amelyeket azonosítva kapunk egy pontot a projektív síkban, míg a síkok metszik a gömböt nagy körökben , amelyek a projektív sík egyenesei. ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (2,R)}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {PG} (2,R)}$

Az, hogy egy ilyen egymás mellé helyezés "megőrzi" az előfordulást, könnyen kimutatható a vonalak és síkok modelljében. A projektív síkban lévő egyenesre beeső pont a modellben a síkon fekvő egyenesnek felel meg. Dualitás esetén a sík az origón áthaladó és a síkra merőleges egyenessé válik. Ez a kép (vonal) merőleges az eredeti síkon fekvő bármely vonalra, és különösen az eredeti egyenesre (a projektív sík egy pontjára). Minden, az eredeti egyenesre merőleges vonal egy síkot alkot, amely az eredeti egyenes képe. Így a vonal képe a sík képében rejlik, így a beesés megmarad.

Pólusok és sarkok

Az euklideszi síkon rögzítünk egy középpontú és sugarú kört . Minden ponttól eltérő ponthoz a szabály szerint definiáljuk a képet a sugáron . Az így meghatározott leképezést kör inverziónak nevezzük . Azon átmenő és arra merőleges egyenest a pont körhöz viszonyított polárisának nevezzük . $C$ $O$ $r$ $P$ $O$ $P'=Q$ $OP$ $OP\cdot OQ=r^{2}$ $P\mapsto Q$ $C$ $q$ $P$ $OP$ $K$ $C$

Legyen egy vonal nem halad át . Engedjük le a merőlegest a pontból az egyenesbe . Legyen az inverzió alatti pont képe a -hoz képest . Aztán azt mondják, hogy ez a vonal pólusa . Ha a pont egy egyenesen fekszik (nem megy át -on ), akkor az egyenes pólusa a pont polárisán fekszik, és fordítva. Így egy olyan leképezés, amely pontokat és vonalakat visz a sarkaikra és pólusaikra a -hoz képest , megőrzi a beesést, és a projektív transzformációja . [9] $q$ $O$ $OP$ $O$ $q$ $K$ $P$ $C$ $K$ $q$ $M$ $q$ $O$ $K$ $q$ $m$ $M$ $C$

Ahhoz, hogy ezt a folyamatot egy-egy transzformációvá alakítsuk, és korrelációvá alakítsuk , az euklideszi síkot ki kell terjeszteni a projektív síkra egy végtelenben lévő egyenes és a végtelenben lévő en] pontok hozzáadásával, amelyek ezen az egyenesen fekszenek végtelenség. Ezen a kiterjesztett síkon egy pont polárisát a végtelenben lévő egyenesként határozzuk meg (és a pont a végtelenben lévő egyenes pólusa), az átmenő egyenesek pólusait pedig a végtelenben lévő pontokként, ahol, ha az egyenes lejtő , pólusa a meredekségű párhuzamos egyenesek osztályának megfelelő végtelen pontja . A tengely pólusa a függőleges vonalak végtelenjében, a tengely pólusa pedig a vízszintes vonalak végtelenjében található pont. $O$ $O$ $O$ $s(\neq 0)$ $-1/s$ $x$ $y$

A kör körüli inverzió poláris transzformációjának felépítése általánosítható a kúpszeletek körüli inverzióval (a kiterjesztett valós síkon). Az így megszerkesztett kölcsönös transzformáció 2-es rendű projektív korreláció, azaz poláris transzformáció.

Gömb leképezése síkra

Az egységgömböt tartalmazó projektív síkmodell izomorf (figyelembe véve az incidencia tulajdonságot) a síkmodellhez képest, ahol a síkot a projektív egyenes kiterjeszti a végtelenben. Ebben a modellben a gömb ellentétes pontjait (a középponthoz viszonyítva) egy pontnak tekintjük.

Ahhoz, hogy a gömb pontjait a síkon lévő pontokhoz társítsuk, feltételezzük, hogy a gömb egy ponton érinti a síkot, és ezt a pontot választjuk a sík origójának. Most húzzunk egy vonalat a gömb egy pontján és a gömb középpontján keresztül. Ez a vonal egy ponton metszi a gömböt. Az eredményül kapott pont felhasználható egy-egy leképezés készítésére

f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\jobbra {\mathbb {R}}P^{2}.

Ha a pontok homogén koordinátákkal vannak megadva , akkor ${\mathbb {R}}P^{2}$

f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],

f^{{-1}}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \ z}\jobbra)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\jobbra).

A síkmodell vonalai a gömb nagyköreinek vetületei, mivel a síkon egy egyenesen és a 3 dimenziós koordináták origóján keresztül sík húzható, és ez a sík metszi majd a gömböt a nagykör mentén.

Mint látható, a gömb bármely nagyköréhez hozzárendelhető egy olyan projektív pont, amely egyetlen egyenesnek felel meg, amely merőleges arra a síkra, amelyen a kör fekszik, és amely duálisként definiálható. Ez az egyenes metszi az érintősíkot, és ez megmutatja, hogyan lehet a sík egyetlen pontját a sík bármely egyeneséhez társítani oly módon, hogy a pont kettős legyen az egyenessel.

Jegyzetek

↑ J.V. Jung. Projektív geometria. - Moszkva: Állam. szerk. Külföldi irodalom, 1949. - S. 30.
↑ Coxeter, 2003 , p. 26
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. 11. § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Pevsner, 1980 , 68-69. o., 13. Kollineációk
↑ Dembowski, 1968 151. o.
↑ Azokat a pontokat, amelyek egy egyenesen helyezkednek el, kollineárisnak nevezzük, vagyis ugyanazon az egyenesen fekszenek. A kollineáris transzformáció megőrzi a kollineitás tulajdonságát. Lásd Volberg, 1949
↑ Pevzner, 1980 , 45-46., Pontok és egyenesek kettős kapcsolata a síkban
↑ A gömb ellentétes pontjait (az átmérő végeit) antipódoknak nevezzük .
↑ Coxeter és Greitzer, 1978 165. o

Irodalom

A. Adrian Albert, Reuben Sandler. Bevezetés a véges projektív síkokba. – New York: Holt, Rinehart és Winston, 1968.
F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlin.
R. Baer. Lineáris algebra és projektív geometria. - Moszkva: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1955.
MK Bennett. Affin és projektív geometria . - New York: Wiley, 1995. - ISBN 0-471-11315-8 .
Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projektív geometria: az alapoktól az alkalmazásokig. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - ISBN 0-521-48277-1 .
Ray Casse. Projektív geometria: Bevezetés. - New York: Oxford University Press, 2006. - ISBN 0-19-929886-6 .
Judith N. Cederberg. Modern geometria tanfolyam. - New York: Springer-Verlag, 2001. - ISBN 0-387-98972-2 .
G.S.M. Coxeter. Valódi projektív sík. - Moszkva: Fizikai és matematikai irodalom állami kiadója, 1959.
Coxeter, HSM projektív geometria. — 2. kiadás. - Springer Verlag, 2003. - ISBN 978-0-387-40623-7 .
G.S.M. Coxeter. Bevezetés a geometriába. - Moszkva: "Nauka" A fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1968.
G.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Új találkozások a geometriával. - Moszkva: "Nauka" Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1978. - (Matematikai kör könyvtára).
Dembowski Péter. Véges geometriák. Berlin: Springer Verlag, 1968.
Lynn E Garner. A projektív geometria vázlata. - New York: North Holland, 1981. - ISBN 0-444-00423-8 .
Greenberg, MJ Euklideszi és nem euklideszi geometriák. — 4. kiadás. - Freeman, 2007.
R. Hartshorne. A projektív geometria alapjai. - Moszkva: "Mir", 1970. - ("Modern matematika" népszerű sorozat).
Hartshorne Robin. Geometria: Euclid and Beyond. - Springer, 2000.
D. Gilbert, S. Cohn-Vossen. vizuális geometria. - Moszkva, Leningrád: Az általános műszaki irodalom és nomográfia főkiadása, 1936.
Dr. Hughes, FC Piper. projektív síkok. — Springer, 1973.
F. Karteszi. Bevezetés a véges geometriákba. - Amszterdam: Észak-Hollandia, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
RJ Mihály. Projektív geometria és algebrai struktúrák . - New York: Academic Press, 1972. - ISBN 0-12-495550-9 .
S. Ramanan. Projektív geometria // Rezonancia. - Springer India, 1997. augusztus. - 2. kötet , no. 8 . – S. 87–94 . — ISSN 0971-8044 . - doi : 10.1007/BF02835009 .
Pierre Samuel. Projektív geometria . - New York: Springer-Verlag, 1988. - ISBN 0-387-96752-4 .
Frederick W. Stevenson. projektív síkok. - San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
Oswald Veblen, JWA Young. projektív geometria. - Boston: Ginn & Co., 1938. - ISBN 978-1-4181-8285-4 .
O.A. Volberg. A projektív geometria alapötletei. - Moszkva, Leningrád: Uchpedgiz, 1949.
S.L. Pevzner. Projektív geometria. - Moszkva: "Felvilágosodás", 1980. - S. 68-69 § 13 Collineations.
POKOL. Alexandrov , N. Yu. Netsvetaev. Geometria. - Moszkva: Nauka, 1990.
I.R. Shafarevich , A.O. Remizov. Lineáris algebra és geometria. - Moszkva: Fizmatlit, 2009.

Linkek

Weisstein, Eric W. Duality Principle (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .