Ceva tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Ceva tétele egy klasszikus tétel az affin geometriában és a háromszöggeometriában . Giovanni Ceva olasz mérnök telepítette 1678 - ban .

Határozzuk meg a ceviana -t olyan szakaszként , amely egy háromszög csúcsát összeköti az ellenkező oldalon lévő ponttal.

Egy háromszög három cevianja akkor és csak akkor halad át ugyanazon a ponton: $AA',BB',CC'$ $ABC$

{\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B))=1

Jegyzetek

Ez a tétel affin , azaz csak azokkal a tulajdonságokkal mondható ki, amelyek az affin transzformációk során megmaradnak .

Ez a tétel általánosítható arra az esetre, amikor a pontok az oldalak kiterjesztésein fekszenek . Ehhez az " irányított szegmensek arányát " kell használni . Két kollineárisan irányított szegmensre van definiálva, és és jelöléssel $ABC'$ $BC, CA, AB$ $XY$ $ZT$ ${XY}/{ZT}$
- Hagyjuk feküdni a háromszög vonalain . Az egyenesek akkor és csak akkor
párhuzamosak (azaz párhuzamosak vagy ugyanabban a pontban metszik egymást): $ABC'$ $BC, CA, AB$ $ABC$ $AA',BB',CC'$ ${\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1$

Poncelet-tétel . Ceva eredeti tétele általánosítható egy páratlan számú oldalú sokszög esetére. Ekkor Poncelet -tételnek nevezzük . Ez így hangzik: a páratlan oldalszámú sokszög csúcsaival összekötő egyenesek olyan szegmenseket képeznek a szemközti oldalain, hogy a közös végekkel nem rendelkező szakaszok szorzata egyenlő a többi szakasz szorzatával. (lásd 23. tétel, 35. oldal, [1] )
Ceva trigonometrikus tétele: ${\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac { \sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.$

Ebben az esetben az itt lévő szögeket orientáltnak tekintjük ; azaz van egy szög, amellyel egy egyenest az óramutató járásával ellentétes irányban kell elforgatni, hogy egyenes legyen .

\angleXYZ

XY

YZ

Bizonyíték ismert

terület módszer ,
tömeggeometria segítségével,
Menelaus tételének és sok másnak kettős alkalmazása .

Cheva maga szolgáltatott egy bizonyítást tömeggeometriával, de vannak más bizonyítások is.

Lásd még

Irodalom

Balk M. B. , Boltyansky V. G. A tömeg geometriája. - M . : Tudomány , 1987. - ( Kvantumkönyvtár )).
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai Kör könyvtára).
Myakishev A.G. A háromszöggeometria elemei. Sorozat: "Könyvtár" Matematikai oktatás ". M.: MTSNMO , 2002.
Filippovsky G. B. Ceva, Menelaus és Van Obel tételei // Matematika. Mindent a tanárért! 9. szám (21). Szeptember. 2012. p. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTsNMO , 2004. - S. 66-68. — ISBN 5-94057-170-0 .
Kendő, Michel . Ceva munkájáról, címmel: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in - 4°, Milánó, 1678). // A geometriai módszerek keletkezésének és fejlődésének történeti áttekintése. T. 2. M., 1883.
Giovanni Ceva . De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678

Jegyzetek

↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. 2. kiadás M.: Uchpedgiz, 1962. 153 p.