Poncelet porizmus

A Poncelet-porizmus a projektív geometria klasszikus tétele . Jean-Victor Poncelet nevéhez fűződik .

Történelem

A poncelet-porizmust Jean-Victor Poncelet francia matematikus fedezte fel 1812-1814-ben, amikor Szaratovban raboskodott . Szaratov fogságában (többnyire) megírta értekezését az ábrák projektív tulajdonságairól, valamint egy értekezést az analitikus geometriáról (hét jegyzetfüzet, később – 1862-1864-ben – Applications d'Analyse et de Géometrie címmel jelent meg ) .

A háromszögek speciális esete az Euler-tételből következett .

Megfogalmazás

Legyen egy sokszög különböző csúcsokkal, egy kúpba írva és egy másik kúp körül körülírva . Ekkor a kúp bármely pontjára , például érintésekre , létezik egy sokszög , amely be van írva és körül van írva . [egy] ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n))$ $n$ $C$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1},B_{2))$ $C$ ${\displaystyle B_{1}\neq B_{2))$ ${\displaystyle B_{1}B_{2))$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n))$ $C$ $\Gamma$

Jegyzetek

Ha a kúp egy kör , az egyik körbe beírt és a másik körül körülírt sokszögeket bicentrikus sokszögeknek nevezzük , így ez a Poncelet-porizmus egy speciális esete, tömören kifejezhető, mivel minden bicentrikus sokszög egy végtelen bicentrikus halmaz része. sokszögek ugyanarra a két körre vonatkoztatva [2] :p. 94 .

Algebrai bizonyítás

Tekintsünk egy olyan párokat, amelyek "egy pont a külső kúpon és egy érintő a belső kúpon" alakúak. Ez a halmaz egy algebrai egyenlettel definiálható egy projektív sík és duális (azaz az eredeti síkon lévő egyenesek halmaza) szorzatában, amely a Segre beágyazás miatt projektív . Nyilvánvaló, hogy az általános konfigurációban a kapott algebrai változat egy nem degenerált görbe lesz. Számítsuk ki a nemzetségét a Riemann-Hurwitz képlettel : ez a sokaság természetes módon (az egyenes leképezés elfelejtésével) egy külső kúpszelvényre vetül, és a közös pont felett két előkép fog lógni, és csak négy pont - a kúpszeletek metszéspontjai, amelyek létezését Bezout tétele garantálja , - egy előképe van, vagyis ebben a négy pontban elágazik, és csak azokban. Ezért a fedőgörbe Euler-karakterisztikája egyenlő -vel , azaz a görbe 1-es nemzetségbe tartozik, és nem-degeneráltsága miatt elliptikus görbe . $2(2-4)+4=0$

Valamilyen pontról kezdjük, és érintőket rajzolunk. A kiválasztott kiindulási pont és a bejárási irány birtokában pár sorozatot kapunk, mint például "egy pont a külső kúpon és egy érintője a belső kúposhoz". Megjegyzendő, hogy a külső kúp egy nem degenerált pontja az elliptikus görbe két pontjának felel meg (ami a belőle kiinduló két érintőnek felel meg), és ezek összege az elliptikus görbe pontjaként a külső kúpból az elliptikusra való leképezést ad. görbe, ami egy ponthoz való leképezés, mivel felemelhető az univerzális burkolatra - a komplex síkra, ahol a gömb tömörsége miatt határos lesz, és Liouville tétele szerint állandó. Ezért az egy pontból kiinduló érintő átvitelét a leképezés adja meg , ahol egy konstans. Hasonlóképpen egy érintőn fekvő pont átvitelének van alakja , és összetételüknek így alakja van ; de az összetétel a lánc következő oldalának felépítése az előzőből, és a lánc lezárása ekvivalens azzal, ami az elliptikus görbe, mint csoport összeadás általi torziójában rejlik, ezért nem függ a kiindulási ponttól ; ugyanígy nem attól függ a csavarás sorrendje, vagyis a lánc zárásának lépéseinek száma. $x\mapsto \xi -x$ $\xi$ $x\mapsto \zeta -x$ $x\mapsto \zeta -\xi +x$ $\zeta-\xi$

Változatok és általánosítások

Cayley-tétel

Legyen egy kör és egy ellipszis . Ekkor a lánc hurkolásának feltétele a függvény Taylor-soraiban megadva . (Minden együttható kiszámítása például és segítségével történik .) Nevezetesen: $f$ $x^{2}+y^{2}=1$ $g$ $ax^{2}+by^{2}=1$ ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2} +\pontok$ $c_{i}$ $a$ $b$ $c_{0}=ab$

A Poncelet lánc akkor és csak akkor párosít és lép át a lépéseken $f$ $g$ $2m+1$ ${\begin{vmatrix}c_{2}&\pontok &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix)) =0.$
A Poncelet lánc akkor és csak akkor párosodik, és lép át a lépéseken, ha [3] $f$ $g$ $2 m$ ${\begin{vmatrix}c_{3}&\pontok &c_{m+1}\\\vpontok &&\vpontok \\c_{m+1}&\pontok &c_{2m-1}\end{vmátrix }}=0.$

Schwartz tétele

Legyen egy Poncelet lánc. Jelölje egyenes vonallal , és vegye figyelembe a metszéspontokat . Akkor bármilyen egész számra $A_{0}A_{1}\dots$ $\ell _{i}$ $A_{i}A_{{i+1}}$ ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j))$ $k$

Minden pont ugyanazon a kúpszelvényen található. $B_{{i,i+k}}$
Minden pont ugyanazon a kúpszelvényen található. $B_{{i,ki}}$

Többdimenziós analóg

A Poncelet-tétel algebrai bizonyítása azon a tényen alapul, hogy két négyzet metszéspontja egy háromdimenziós projektív térben egy elliptikus görbe . 1972-ben Miles Reed disszertációjában bebizonyította ennek a ténynek az általánosítását. Reed tétele ugyanis kimondja, hogy az a sokaság, amely lineáris -dimenziós altereket parametrizál egy -dimenziós projektív térben, amely kétdimenziós négyzetek metszéspontjában fekszik (feltéve, hogy ez a metszéspont nem szinguláris) , valamely hiperelliptikus görbe (elágazó ) jakobi sokasága. racionális görbe kettős lefedése) . [4] Ez a hiperelliptikus görbe megszerkeszthető a -dimenziós alterek helyeként két olyan négyszög metszéspontjában, amelyek egy fix dimenziós alteret metszenek, amely szintén a négyszögek metszéspontjában fekszik, egy legalább méretű altér mentén . Ha ezeket a négyeseket a főtengelyekre redukáljuk (azaz homogén egyenleteik vannak $(n-1)$ $(2n+1)$ $2n$ $(n-1)$ $(n-1)$ $n-2$

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\pontok +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

néhány együttható esetén ez a görbe biracionálisan izomorf az egyenlet által megadott görbével ${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1))$

y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\pontok (x-b_{2n+1}).

Donaghy észrevette, hogy az összeadás törvénye egy ilyen sokaságon geometriailag definiálható. Nevezetesen, ha a két négyesünk által generált kötegből ( és -vel jelöljük őket ) van valamilyen négyes , és kétdimenziós alterek, amelyek ugyanahhoz az összefüggő családhoz tartoznak, és két négyzet metszéspontjában kivágnak kétdimenziós alterek és , akkor az összeadást a szabály (és a nulla választása) egyedileg határozza meg . [5] Például, ha , akkor az elliptikus görbe pontjainak összeadását a következőképpen definiáljuk. Válasszunk egy pontot nullának. A pontok és a pontok összeadásához húzzon egy vonalat , és vegyen figyelembe egy négyzetet a ceruzából, amelyen ez az egyenes fekszik (egy ilyen négyzet egyedi, és felállítható például a szekáns vonalak uniójaként, amelyek kétszer metszenek egy elliptikus görbét ). A vonal egy kétdimenziós négyzet generátoraként egy egyparaméteres összefüggő családba tartozik. Válasszunk ebből a családból egy ponton átmenő egyenest . Az egyenes és az elliptikus görbe metszéspontja a kívánt összeg összege lesz . $K$ $Q_1$ $Q_{2}$ $E_1$ $E_2$ $n$ $K$ $E_{i}$ $(n-1)$ $\ell _{i1}$ ${\displaystyle \ell _{i2))$ $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ $n=1$ $O$ $A$ $B$ $AB$ $AB$ $AB$ $p$ $O$ $p$ $A+B$

Lásd még

A Steiner-porizmus hasonló állítás a körök láncaira.
Az Euler-tétel (planimetria) tartalmazza a Poncelet-porizmus egy speciális esetét . $n=3$

Jegyzetek

↑ Marcel Berger , Geometria, Következmény 16.6.11.
↑ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (eredeti: 1960).
↑ Dragovic, Vladimir, Radnovic, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. - Springer, 2011. - P. 116. - (Határok a matematikában). — ISBN 3034800142 .
↑ Reid, M.: Két vagy több négyszög teljes metszéspontja. Szakdolgozat, Cambridge (GB), 1972
↑ Donagi, R.: Csoporttörvény két négyszög metszéspontjairól. Preprint UCLA 1978

Irodalom

Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelet lezárási tétele. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289-364.

Linkek

Élő rajz .
Marcel Berge. Geometria: Per. franciából. - M .: Mir, 1984. - 2. kötet, 16.6, p. 140-148.
Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. 29. előadás // Mathematical Divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 példányban. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
V. V. Prasolov . Proof of the Poncelet Theorem by Darboux Archiválva : 2014. február 27. itt: Wayback Machine , Mat. megvilágosodás, ser. 3, 5, MTsNMO, Moszkva, 2001, 140-144.
G. B. Shabat . Körülbelül Poncelet Archív példány 2016. április 27-én a Wayback Machine -ban, a "Modern Mathematics" nyári iskolában, 2014 Dubna.